a)

Rozwiążmy układ równań.

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& -4x^2+y^2+2y+1=0\\ & -x^2+y+4=0\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& -4x^2+y^2+2y+1=0\\ & x^2=y+4\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& -4(y+4)+y^2+2y+1=0\\ & x^2=y+4\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& -4y-16+y^2+2y+1=0\\ & x^2=y+4\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& y^2-2y-15=0\\ & x^2=y+4\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

Rozważmy pierwsze równanie

$$\begin{gathered} y^2-2y-15=0 \\ \Delta =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=4+64=64,\sqrt{\Delta }=8 \\ y=\frac{2-8}{2}=-3\vee y=\frac{2+8}{2}=5 \end{gathered}$$

A stąd posługując się drugim równaniem wyznaczymy wartości x.

$$\begin{gathered} y=-3: \\ {x}^2=-3+4 \\ {x}^2=1 \\ x=-1\vee x=1 \end{gathered}$$

Oraz

$$\begin{gathered} y=5: \\ {x}^2=5+4 \\ {x}^2=9 \\ x=-3\vee x=3 \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy cztery punkty. Zaznaczmy je w układzie współrzędnych i ustalmy ich kolejność.

---

b)

1. Sugerując się rysunkiem wykażemy najpierw, że proste zawierające odcinki AB oraz CD są równoległe.

Prosta AB przechodzi przez dwa punkty o tej samej współrzędnej y=-3. Oznacza to, że 

$AB:y=-3$

Prosta CD przechodzi przez dwa punkty o tej samej współrzędnej y=5. Oznacza to, że 

$CD:x=5$

Zauważmy, że obie te proste są poziome, zatem są równoległe. Ta figura jest trapezem.

2. Udowodnimy, że trapez jest równoramienny.

Obliczmy długości ramion

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(-3-5\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-8\right)}^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}$

$\left|AD\right|=\sqrt{{\left(-3-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(5-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+8^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}$

Widzimy, że

$\left|BC\right|=\left|AD\right|$

Zatem jest to trapez równoramienny, co należało wykazać.

---

c)

Okrąg opisany na tym czworokącie ma swój środek równooddalony od wszystkich wierzchołków. Jako, że trapez jest równoramienny możemy wywnioskować, że środek okręgu znajdować się będzie na osi symetrii tego trapezu zatem na prostej

$x=0$

Jeśli ma być równooddalony od wierzchołków będzie znajdywał się w równej odległości na przykład od punktu A i od punktu C. Ten punkt ma współrzędne

$S=\left(0,y_S\right)$

I zachodzi równanie

$$\begin{gathered} \left|AS\right|=\left|CS\right| \\ \sqrt{{\left(0-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(y_S-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(0-3\right)}^2+{\left(y_S-5\right)}^2} \\ {1}^2+(y_S+3{)}^2=(-3{)}^2+(y_S-5{)}^2 \\ 1+y_S^2+6y_S+9=9+y_S^2-10y_S+25 \\ 6y_S+10=-10y_S+34 \\ 16y_S=24 \\ {y}_S=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy środek okręgu opisanego na tym trapezie

$S=\left(0,\frac{3}{2}\right)$

Obliczmy promień okręgu, jest to na przykład długość odcinka AS.

$\left|AS\right|=\sqrt{{\left(0-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}-(-3)\right)}^2}=\sqrt{1^2+{\left({\frac{9}{2}}^{}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{81}{4}}=\sqrt{\frac{85}{4}}=\frac{\sqrt{85}}{2}$

Zatem równanie okręgu ma postać

$x^2+{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{85}{4}$