Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Rozważmy trójkąty AOS oraz AOD. Z twierdzenia Pitagorasa w obu trójkątach otrzymujemy

$\{\begin{array}{l}{\left|AO\right|}^2+{\left|OS\right|}^2={\left|AS\right|}^2\\ {\left|AO\right|}^2+{\left|OD\right|}^2={\left|AD\right|}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+H^2={10}^2\\ x^2+{\left(\frac{1}{2}H\right)}^2={\left(2\sqrt{13}\right)}^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2=100-H^2\\ x^2=52-\frac{1}{4}{H}^2\end{array}$

Z tych dwóch równań możemy stworzyć równanie

$100-H^2=52-\frac{1}{4}{H}^2\mid \cdot 4$  

$400-4H^2=208-H^2$  

$-3H^2=-192$  

$H^2=64,H>0$

$\underline{H=8}$   

A stąd podstawiając do pierwszego równania

$x^2=100-9^2=100-64=36$  

Mamy x>0, zatem

$\underline{x=6}$  

---

Zauważmy, że odcinek o długości x stanowi ²/₃ wysokości podstawy, która jest trójkątem równobocznym. Stąd

$\frac{2}{3}\cdot h_p=6$  

$\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=6$  

$\frac{\sqrt{3}}{3}a=6$

$a=\frac{18}{\sqrt{3}}$

$a=6\sqrt{3}$    

---

Obliczmy objętość ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{{\left(6\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}\cdot 8=\frac{2}{3}\cdot 108\sqrt{3}=72\sqrt{3}$