Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Korzystamy ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego i wyznaczamy długość h.

$h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$   

---

Odcinek oznaczony literą y stanowi dwie trzecie długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości 6, ponieważ punkt przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym dzieli odcinki będące wysokościami w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka, więc

$y=\frac{2}{3}\cdot h=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$  

---

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości czworościanu.

$H^2+y^2=6^2$  

$H^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=36$  

$H^2+12=36\mid -12$  

$H^2=24,H>0$  

$H=\sqrt{24}$  

$H=2\sqrt{6}$  

Wyznaczamy długość odcinka oznaczonego literą z.

$z=\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$  

---

Trójkąt prostokątny SRD jest podobny do trójkąta prostokątnego EOD na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt. Stąd otrzymujemy

$\frac{r}{H-r}=\frac{z}{h}$  

$\frac{r}{2\sqrt{6}-r}=\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$  

Korzystamy z własności proporcji.

$3\sqrt{3}r=\sqrt{3}\left(2\sqrt{6}-r\right)\mid :\sqrt{3}$  

$3r=2\sqrt{6}-r\mid +r$  

$4r=2\sqrt{6}\mid :4$  

$r=\frac{\sqrt{6}}{2}$  

---

Płaszczyzna 𝜋 dzieli czworościan na dwie bryły. Ostrosłup odcięty jest podobny do czworościanu foremnego. Objętość tej bryły stanowi 8/27 objętości wyjściowego czworościanu. Wyznaczamy skalę podobieństwa tego odciętego ostrosłupa do czworościanu foremnego.

$k^3=\frac{8}{27}$  

$k=\frac{2}{3}$  

Wobec tego

$\frac{H-\left(r+x\right)}{H}=k$  

$\frac{2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{2}-x}{2\sqrt{6}}=\frac{2}{3}$  

$\frac{\frac{4\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}-x}{2\sqrt{6}}=\frac{2}{3}$  

$\frac{\frac{3\sqrt{6}}{2}-x}{2\sqrt{6}}=\frac{2}{3}$  

Stąd

$3\left(\frac{3\sqrt{6}}{2}-x\right)=4\sqrt{6}$  

$\frac{9\sqrt{6}}{2}-3x=4\sqrt{6}\mid \cdot 2$  

$9\sqrt{6}-6x=8\sqrt{6}\mid -9\sqrt{6}$  

$-6x=-\sqrt{6}\mid :\left(-6\right)$  

$\underline{\underline{x=\frac{\sqrt{6}}{6}}}$