Oznaczmy katy ostre w trójkącie prostokątnym jako

$\alpha ,\beta$  

Niech

$\alpha <\beta$  

Zachodzi

$\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$

  $\underline{\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha }\left(\ast \right)$  

Wiemy, że na pewno skoro kąty są ostre i sinusy, zachodzi

$\sin \alpha <\sin \beta <1$  

Stąd liczba 1 jest największa, a zatem jest ostatnim wyrazem ciągu lub pierwszym. Mamy możliwości

$\sin \alpha ,\sin \beta ,1\text{lub}1,\sin \beta ,\sin \alpha$  

Z obu postaci wynika, że

${\sin }^2\beta =1\cdot \sin \alpha$  

Ze wzoru redukcyjnego

${\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$  

${\cos }^2\alpha =\sin \alpha \mid -\sin \alpha$  

${\cos }^2\alpha -\sin \alpha =0$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy

$\left(1-{\sin }^2\alpha \right)-\sin \alpha =0$

$-{\sin }^2\alpha -\sin \alpha +1=0$

Niech

$t=\sin \alpha ,t\in ⟨-1,1⟩$

Stąd

$-t^2-t+1=0$     

${\Delta }_t={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 1=1+4=5,\sqrt{{\Delta }_t}=\sqrt{5}$  

$t=\frac{1-\sqrt{5}}{-2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\vee t=\frac{1+\sqrt{5}}{-2}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\notin ⟨-1,1⟩$  

Zatem

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$