Założenie:

$abc=1,a,b,c\in \mathbb{R}$

Teza:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=ab+bc+ac$

---

Dowód:

Zapiszmy, że skoro

$abc=1$

to 

$a\ne 0\wedge b\ne 0\wedge c\ne 0$

A stąd możemy wykonać przekształcenie

$$\begin{gathered} abc=1 \\ a=\frac{1}{bc} \end{gathered}$$

Wstawmy to do równania tezy.

$$\begin{gathered} \frac{1}{\frac{1}{bc}}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{bc}\cdot b+bc+\frac{1}{bc}\cdot c \\ bc+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+bc+\frac{1}{b} \\ 0=0 \end{gathered}$$

Doszliśmy do tożsamości, zatem teza jest spełniona, co należało wykazać.