Rozważamy trójkąt prostokątny ABC, w którym

$A=\left(2,1\right),B=\left(-2,4\right),C=\left(0,0\right)$  

Mamy obliczyć sinus większego z kątów ostrych trójkąta.

---

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Wyznaczamy długości boków trójkąta.

Ze wzoru na długość odcinka mamy

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-2-0\right)}^2+{\left(-4-0\right)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(1-4\right)}^2}=\sqrt{{\left(2+2\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(2-0\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$  

Zauważmy, że mamy

$\sqrt{5}<2\sqrt{5}<5$  

To oznacza, że przeciwprostokątną trójkąta jest bok AB. Czyli mamy

$\left|\sphericalangle ACB\right|={90}^{\circ }$  

---

Większy kąt ostry leży naprzeciw dłuższej przyprostokątnej, czyli boku BC. Korzystamy z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym i mamy

$\sin \alpha =\frac{\left|BC\right|}{\left|AB\right|}$  

Zatem sinus większego z kątów ostrych trójkąta ABC jest równy

$\sin \alpha =\underline{\underline{\frac{2\sqrt{5}}{5}}}$