Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  -  różnica kwadratów $2.\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3+b^3$  - suma sześcianów $3.\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3$  - różnica sześcianów

---

a)

Pokażemy prawdziwość wzoru:

$a^6-1=\left(a-1\right)\left(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1\right)$  

Dowód:

Przekształcamy lewą stronę wzoru, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, a następnie ze wzoru na różnicę sześcianów 

  $\mathbf{L}=a^6-1={\left(a^3\right)}^2-1^2\stackrel{1.}{=}\left(a^3-1\right)\left(a^3+1\right)\stackrel{3.}{=}$  

$=\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\left(a^3+1\right)=\left(a-1\right)\left(a^5+a^2+a^4+a+a^3+1\right)=$  

$=\left(a-1\right)\left(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1\right)=\mathbf{P}$  

$\mathbf{L}=\mathbf{P},$   co kończy dowód. ▊

---

b)

Przekształcamy lewą stronę wzoru, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów:

$\mathbf{P}=a^6-1={\left(a^2\right)}^3-1^3\stackrel{3.}{=}\left(a^2-1\right)\left({\left(a^2\right)}^2+a^2\cdot 1+1^2\right)=\left(a^2-1\right)\left(a^4+a^2+1\right)=\dots$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i przekształcamy pierwszy z powyższych nawiasów:

$\dots \stackrel{1.}{=}\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^4+a^2+1\right)=\mathbf{L}$  

$\mathbf{L}=\mathbf{P},$   co kończy dowód. ▊