Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$   -  suma sześcianów $2.a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$   -  różnica sześcianów

---

a)

Usuwamy niewymierność z mianownika. Mnożymy licznik i mianownik przez takie wyrażenie, aby w mianowniku otrzymać wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów. 

$\frac{3}{1+\sqrt[3]{2}}=\frac{3}{1+\sqrt[3]{2}}\cdot \frac{1^2-1\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}{1^2-1\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}\stackrel{1.}{=}\frac{3\left(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)}{1^3+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3}=$  

$=\frac{3\left(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)}{1+2}=\frac{\sout{3}\left(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)}{\sout{3}}=\underline{\underline{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}}$  

---

b)

Usuwamy niewymierność z mianownika. Mnożymy licznik i mianownik przez takie wyrażenie, aby w mianowniku otrzymać wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}\cdot \frac{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+1\cdot \sqrt[3]{3}+1^2}{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+1\cdot \sqrt[3]{3}+1^2}\stackrel{2.}{=}\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3-1^3}=$  

$=\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}{2}=\underline{\underline{\frac{1}{2}\cdot \left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1\right)}}$

---

c)

Usuwamy niewymierność z mianownika. Mnożymy licznik i mianownik przez takie wyrażenie, aby w mianowniku otrzymać wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}\cdot \frac{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}\stackrel{2.}{=}\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3-{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3}=$  

$=\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{3-2}=\underline{\underline{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}}$