Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$   -  suma sześcianów $2.a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$   -  różnica sześcianów

---

Obliczamy wartość wyrażenia dla  $x=\sqrt[3]{3}\text{i}y=2\sqrt[3]{2}$  

a)

Sprowadzamy wyrażenie do najprostszej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów. Mamy:

$\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\stackrel{2.}{=}{x}^3-y^3$  

Podstawiamy wartości liczbowe i otrzymujemy

$x^3-y^3={\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3-{\left(2\sqrt[3]{2}\right)}^3=3-2^3\cdot 2=3-16=\underline{\underline{-13}}$  

---

b)

Sprowadzamy wyrażenie do najprostszej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów. Mamy:

$\left(2x-y\right)\left(4x^2+2xy+y^2\right)=\left(2x-y\right)\left({\left(2x\right)}^2+2x\cdot y+y^2\right)\stackrel{2.}{=}{\left(2x\right)}^3-y^3=8x^3-y^3$  

Podstawiamy wartości liczbowe i otrzymujemy:

$8x^3-y^3=8{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3-{\left(2\sqrt[3]{2}\right)}^3=8\cdot 3-2^3\cdot 2=24-16=\underline{\underline{8}}$  

---

c)

Sprowadzamy wyrażenie do najprostszej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów. Mamy:

$\left(3x+2y\right)\left(9x^2-6xy+4y^2\right)=\left(2x-y\right)\left({\left(3x\right)}^2-3x\cdot 2y+{\left(2y\right)}^2\right)\stackrel{1.}{=}$  

$={\left(3x\right)}^3+{\left(2y\right)}^3=27x^3+8y^3$  

Podstawiamy wartości liczbowe i otrzymujemy:

$27x^3+8y^3=27\cdot {\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3+8\cdot {\left(2\sqrt[3]{2}\right)}^3=27\cdot 3+8\cdot 2^3\cdot 2=81+128=\underline{\underline{209}}$  

---

d)

Sprowadzamy wyrażenie do najprostszej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów. Mamy:

$\left(2x+3y\right)\left(4x^2-6xy+9y^2\right)=\left(2x-y\right)\left({\left(2x\right)}^2-2x\cdot 3y+{\left(3y\right)}^2\right)\stackrel{1.}{=}$  

$={\left(2x\right)}^3+{\left(3y\right)}^3=8x^3+27y^3$  

Podstawiamy wartości liczbowe i otrzymujemy:

$8x^3+27y^3=8\cdot {\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3+27\cdot {\left(2\sqrt[3]{2}\right)}^3=8\cdot 3+27\cdot 2^3\cdot 2=24+\underset{432}{\underbrace{27\cdot 8\cdot 2}}=\underline{\underline{456}}$