Rozwiązujemy równanie

$2^1\cdot 2^3\cdot 2^5\cdot \dots 2^{2x-1}=64\cdot 4^{x+1}$  

Lewa strona jest iloczynem potęgo takiej samej podstawie. Korzystamy z praw działań na potęgach i przekształcamy równanie.

$2^{1+3+5+\dots +2x-1}=2^6\cdot {\left(2^2\right)}^{x+1}$  

$2^{1+3+5+\dots +2x-1}=2^6\cdot 2^{2x+2}$  

$2^{1+3+5+\dots +2x-1}=2^{2x+8}$  

---

Zauważmy, że wykładnik potęgi będącej po lewej stronie równania jest sumą n  początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Oznaczmy ten ciąg przez (a_n). Wyznaczamy wzór tego ciągu. Mamy:

$a_1=1,a_2=3$  

Stąd różnica tego ciągu jest równa 

$r=a_2-a_1=2$  

Ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$  

otrzymujemy

$a_n=1+\left(n-1\right)\cdot 2=1+2n-2=2n-1$  

Zauważmy, że ostatni wyraz ciągu (a_n) jest równy

$a_n=2x-1$  

Stąd

$2n-1=2x-1$  

Czyli

$n=x$  

To oznacza, że x jest liczbą naturalną dodatnią. Zakładamy zatem, że

$x\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, tj.

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$  

i otrzymujemy:

$1+3+\dots +2x-1=\frac{1+2x-1}{2}\cdot x=\frac{2x}{2}\cdot x=x^2$  

---

Zatem wyjściowe równanie sprowadza się do

$2^{x^2}=2^{2x+8}$   

Podstawy potęg po obu stronach równania są takie same. Porównując wykładniki, otrzymujemy

$x^2=2x+8$  

$x^2-2x-8=0$  

Rozwiązujemy równanie i sprawdzamy które rozwiązania spełniają warunek: x∈ℕ₊

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=4+32=36$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{36}=6$  

$x_1=\frac{2-6}{2}=-2\notin {\mathbb{N}}_{+}$

$x_2=\frac{2+6}{2}=\underline{\underline{4}}\in {\mathbb{N}}_{+}$

Zauważmy, że wyłącznie jedno rozwiązanie należy do liczb naturalnych dodatnich. Stąd mamy ostatecznie, że

$\underline{\underline{x=4}}$