Wiemy, że suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) wyraża się wzorem

$S_n=-\frac{7}{4}n+\frac{1}{4}{n}^2,n\ge 1$  

---

Wyznaczamy wzór ciągu arytmetycznego. 

Obliczamy pierwszy wyraz ciągu (a_n).

$a_1=S_1=-\frac{7}{4}\cdot \frac{1}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$

Wyznaczamy wzór ciągu (a_n) dla n⩾2.

$a_n=S_n-S_{n-1}$  

Obliczamy S_n-1.

$S_{n-1}=-\frac{7}{4}\left(n-1\right)+\frac{1}{4}{\left(n-1\right)}^2=-\frac{7}{4}n+\frac{7}{4}+\frac{1}{4}\left(n^2-2n+1\right)=$

$=-\frac{7}{4}n+\frac{7}{4}+\frac{1}{4}{n}^2-\frac{2}{4}n+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}{n}^2-\frac{9}{4}n+2$  

Stąd otrzymujemy wzór na n-ty wyraz ciągu (a_n).

$a_n=\underset{S_n}{\underbrace{-\frac{7}{4}n+\frac{1}{4}{n}^2}}-\underset{S_{n-1}}{\underbrace{\left(\frac{1}{4}{n}^2-\frac{9}{4}n+2\right)}}=$

$=-\frac{7}{4}n+\frac{1}{4}{n}^2-\frac{1}{4}{n}^2+\frac{9}{4}n-2=\frac{2}{4}n-2=\frac{1}{2}n-2$  

Zatem

$a_n=\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}\text{dla}n=1\\ \frac{1}{2}n-2\text{dla}n\ge 2\end{array}$  

Zauważmy, że dla n=1  

$\frac{1}{2}n-2=\frac{1}{2}\cdot 1-2=-\frac{3}{2}=a_1$  

Zatem wzór ciągu możemy zapisać w następujący sposób:

$a_n=\underline{\underline{\frac{1}{2}n-2}}n\ge 1$  

---

Obliczamy sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu o numerach nieparzystych

Zauważmy, że wyrazy ciągu (a_n) o numerach nieparzystych tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy dwa razy większej od różnicy ciągu (a_n). Zatem sumę dwudziestu początkowych wyrazów możemy wyznaczyć ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, tj.

$S_n=\frac{2a_1+\left(n-1\right)r}{2}\cdot n$  

Obliczamy różnicę między dwoma kolejnymi wyrazami o numerach nieparzystych. Wyznaczamy a₃.

$a_3=\frac{1}{2}\cdot 3-2=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}$

Stąd różnica między dwoma kolejnymi wyrazami o numerach nieparzystych wynosi:

$a_3-a_1=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1$  

Zatem wyrazy o numerach nieparzystych tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie -³/₂ i różnicy równej 1.

Stąd suma dwudziestu początkowych wyrazów o numerach nieparzystych jest równa:

$S=\frac{2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+\left(20-1\right)\cdot 1}{{\cancel{2}}_1}\cdot {\cancel{20}}^{10}=\left(-3+19\right)\cdot 10=16\cdot 10=\underline{\underline{160}}$  

---

Odp. Suma dwudziestu początkowych wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 160.