Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$   -  kwadrat różnicy $3.\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  -  różnica kwadratów

---

Założenia:

$a>0\wedge b>0$

Teza:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$

---

Dowód:

Z założenia mamy, że liczby a i b są dodatnie, wobec tego również liczba (a+b) jest dodatnia. Oznacza to, że mnożąc obustronnie nierówność przez dowolną z tych liczb, znak nierówności nie ulegnie zmianie.

Mamy:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\mid \cdot ab$