Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$   -  kwadrat różnicy $3.\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  -  różnica kwadratów

---

Założenia:

x, y są dowolnymi liczbami rzeczywistymi

Teza:

$2x^2+2y^2-2xy+2x+6y+13>0$  

---

Dowód:

Przekształcamy dowodzoną nierówność w sposób równoważny i doprowadzamy do postaci, z której jasno wynika, że jest ona prawdziwa.

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest sumą algebraiczną. Składniki tej sumy -2xy, 2x, 6y, w zależności od dobranych liczb x i y mogą być liczbami ujemnymi. Wobec tego, aby pokazać, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y należy zastosować wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy (1) i kwadrat różnicy (2). 

Mamy: