Rozważamy trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów ostrych ma miarę 30°. To oznacza, że drugi kąt ostry ma miarę

${90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }.$  

Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość

$h_c=3$   

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Skoro trójkąt prostokątny ma kąty o miarach 30° , 60° , 90° , to z własności długości boków w takim trójkącie mamy, że

$b=a\sqrt{3}$  

$c=2a$  

Wyznaczamy długość a. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta i zapisujemy je na dwa sposoby.

• za pomocą długości przyprostokątnych

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt{3}=\frac{1}{2}{a}^2\sqrt{3}$   

• za pomocą długości przeciwprostokątnej i wysokości, która jest na nią poprowadzona

$P=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 3=3a$   

Porównujemy pola i otrzymujemy równanie z niewiadomą a.

$\frac{1}{2}{a}^2\sqrt{3}=3a\mid :a,a>0$  

$\frac{1}{2}a\cdot \sqrt{3}=3\mid \cdot 2$  

$a\sqrt{3}=6\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka:

$a=\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=\underline{\underline{2\sqrt{3}}}$  

Stąd długość przyprostokątnej b jest równa:

$b=a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=2\cdot 3=\underline{\underline{6}}$  

---

Odp.: Przyprostokątne trójkąta mają długości 2√3 i 6.