Prawdopodobieństwo klasyczne

Jeśli Ω jest zbiorem skończonym i niepustym, to prawdopodobieństwo zdarzenia A⊂Ω nazywamy liczbę:

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$

---

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. W każdym rzucie możemy otrzymać 6 możliwości. Obliczamy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń.

$\left|\Omega \right|=6\cdot 6=36$  

Wprowadzamy oznaczenia zdarzeń:

A - suma oczek jest równa 7.

B - iloczyn oczek jest równy 6. 

---

Wypisujemy wyniki sprzyjające zdarzeniu A. 

Zauważmy, że sumę równą 7 możemy otrzymać w następujących sytuacjach:

$1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1=7$  

Zatem

$A=\left\{\left(1,6\right),\left(2,5\right),\left(3,4\right),\left(4,3\right),\left(5,2\right),\left(6,1\right)\right\}$  

---

Wypisujemy wyniki sprzyjające zdarzeniu B. 

Zauważmy, że iloczyn równy 6 otrzymamy w następujących sytuacjach:

$1\cdot 6=2\cdot 3=3\cdot 2=6\cdot 1=6$  

Zatem

$B=\left\{\left(1,6\right),\left(2,3\right),\left(3,2\right),\left(6,1\right)\right\}$  

---

Zauważmy, że

$\left|A\right|=6,\left|B\right|=4$  

Obliczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniom przeciwnym do zdarzeń A i B. 

$\left|A{}^{\prime }\right|=\left|\Omega \right|-\left|A\right|=36-6=30$  

$\left|B{}^{\prime }\right|=\left|\Omega \right|-\left|B\right|=36-4=32$  

Wyznaczamy sumę i część wspólną zdarzeń A i B. 

$A\cup B=\left\{\left(1,6\right),\left(2,5\right),\left(3,4\right),\left(4,3\right),\left(5,2\right),\left(6,1\right),\left(2,3\right),\left(3,2\right)\right\}$  

$\left|A\cup B\right|=8$  

$A\cap B=\left\{\left(1,6\right),\left(6,1\right)\right\}$  

$\left|A\cap B\right|=2$  

---

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo klasyczne i obliczamy prawdopodobieństwa zdarzeń.

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{6}{36}=\underline{\underline{\frac{1}{6}}}$  

$P\left(B\right)=\frac{\left|B\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{4}{36}=\underline{\underline{\frac{1}{9}}}$  

$P\left(A{}^{\prime }\right)=\frac{\left|A{}^{\prime }\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{30}{36}=\underline{\underline{\frac{5}{6}}}$  

$P\left(B{}^{\prime }\right)=\frac{\left|B{}^{\prime }\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{32}{36}=\underline{\underline{\frac{8}{9}}}$  

$P\left(A\cup B\right)=\frac{\left|A\cup B\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{8}{36}=\underline{\underline{\frac{2}{9}}}$  

$P\left(A\cap B\right)=\frac{\left|A\cap B\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{2}{36}=\underline{\underline{\frac{1}{18}}}$