Przypomnijmy, że Ostrosłupem prostym nazywamy ostrosłup spełniający dwa warunki: 1) na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg 2) spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie Następujące warunki są równoważne: 1) ostrosłup jest ostrosłupem prostym 2) wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają jednakową długość 3) wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa tworzą jednakowe kąty z płaszczyzną podstawy.

Rozważamy ostrosłup, którego wysokość jest równa 12 cm. Z treści zadania wiemy, że wszystkie krawędzie boczne mają taką samą długość, równą 13 cm. Oznacza to, że rozważany ostrosłup jest prosty, a spodkiem wysokości jest środek okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.

---

a)

Zakładamy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny. Czyli trójkąt o kątach 45°, 45°, 90°. Przypomnijmy, że środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek: 

Wyznaczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ASW otrzymujemy

${|AS|}^2+{12}^2={13}^2$   

${|AS|}^2+144=169$   

${|AS|}^2=169-144$   

${|AS|}^2=25$   

Stąd

$|AS|=\sqrt{25}=5\text{cm}$   

Wiemy, że odcinek AS jest połową przeciwprostokątnej. Stąd

$\left|AB\right|=2\cdot |AS|=10\text{cm}$  

Z własności trójkąta o kątach 45°, 45°, 90° mamy, że

$\left|AB\right|=a\sqrt{2}$  

Zatem

$a\sqrt{2}=10\mid :\sqrt{2}$  

$a\sqrt{2}=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa. Ze wzoru na pole trójkąta prostokątnego mamy:

$P_p=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{1}{2}\cdot a^2=\frac{1}{2}\cdot {\left(5\sqrt{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot 50=25{\text{cm}}^2$  

Ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymujemy:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot 12=25\cdot 4=\underline{\underline{100{\text{cm}}^3}}$  

---

b)

Zakładamy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny, którego kąt między ramionami jest równy 30°.  Trójkąt ten jest ostrokątny, zatem środek opisanego na nim okręgu leży wewnątrz trójkąta. 

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Przypomnijmy, że punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Niech R będzie promieniem tego okręgu. 

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ASW otrzymujemy:

$R^2+{12}^2={13}^2$  

$R^2+144=169$  

$R^2=169-144$  

$R^2=25$  

$R=\sqrt{25}=5\text{cm}$  

Z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC mamy:

$\frac{a}{\sin {30}^{\circ }}=2R$  

$a=2R\cdot \sin {30}^{\circ }$  

Wiemy, że   $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2},$  zatem

$a=2\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=5\text{cm}$  

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC mamy:

$a^2=b^2+b^2-2\cdot b\cdot b\cdot \cos {30}^{\circ }$  

$5^2=2b^2-\sout{2}{b}^2\cdot \underset{\cos {30}^{\circ }}{\underbrace{\frac{\sqrt{3}}{\sout{2}}}}$  

$25=2b^2-b^2\cdot \sqrt{3}$  

$25=b^2\left(2-\sqrt{3}\right)$  

Stąd

$b^2=\frac{25}{2-\sqrt{3}}=\frac{25}{2-\sqrt{3}}\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{25\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{25\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=25\left(2+\sqrt{3}\right)$  

Ze wzoru na pole trójkąta obliczamy pole podstawy ostrosłupa.

$P_p=\frac{1}{2}\cdot b\cdot b\cdot \sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}{b}^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot \underset{b^2}{\underbrace{25\left(2+\sqrt{3}\right)}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{25\left(2+\sqrt{3}\right)}{4}{\text{cm}}^2$  

Ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymujemy:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{25\left(2+\sqrt{3}\right)}{4}\cdot 12=\sout{12}\cdot \frac{25\left(2+\sqrt{3}\right)}{\sout{12}}=25\left(2+\sqrt{3}\right){\text{cm}}^3$