Przypomnijmy, że objętość V graniastosłupa jest równa iloczynowi pola podstawy Pp i wysokości H graniastosłupa  $V=P_p\cdot H$

---

Z treści zadania wiemy, że podstawą graniastosłupa jest romb, którego kąt ostry ma miarę 30° i w ten romb wpisano okrąg o promieniu 1 dm. 

Wiemy również, że kąt między przekątną ściany bocznej, a krawędzią podstawy ma miarę 45°.

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:  

Zauważmy, że kątem między krawędzią podstawy, a przekątną ściany bocznej jest kąt DAD₁  w trójkącie prostokątnym ADD₁. Oznacza to, że trójkąt ADD₁ jest trójkątem równoramiennym oraz

$\left|AD\right|=\left|D{D}_1\right|$  

czyli

$a=H$  

---

Wyznaczamy długość krawędzi podstawy. Rozważamy równoległobok ABCD.

Rysunek: 

Zauważmy, że wysokością rombu jest odcinek EK, który jest średnicą okręgu wpisanego w romb, zatem

$|EK|=2\cdot 1=2\text{dm}$  

Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku i otrzymujemy, że pole podstawy graniastosłupa jest równe

$P_p=a\cdot 2=2a$  

Z drugiej strony, korzystając ze wzoru na pole rombu, mamy

$P_p=a^2\cdot \sin \left({30}^{\circ }\right)=a^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}{a}^2$  

Zatem

$2a=\frac{1}{2}{a}^2\mid \cdot 2$  

$4a=a^2\mid :a$  

$4=a$  

Zatem długość krawędzi podstawy jest równa

$a=4\text{dm}$  

---

Wyznaczamy pole podstawy graniastosłupa.

Mamy

$P_p=\frac{1}{2}{a}^2=\frac{1}{2}\cdot 4^2=\frac{1}{2}\cdot 16=8{\text{dm}}^2$  

Wiemy, że wysokość graniastosłupa jest równa

$H=a=4\text{dm}$

Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa i mamy

$V=P_P\cdot H=8{\text{dm}}^2\cdot 4\text{dm}=\underline{\underline{32{\text{dm}}^3}}$   

Odp.: Objętość graniastosłupa jest równa 32 dm³.