Z treści zadania wiemy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny ABC, a wysokością jest odcinek CW. Ponadto

$\left|AB\right|=4\sqrt{3}\text{cm}$  

$\left|CW\right|=6\text{cm}$  

Wykonujemy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku.

Rysunek:  

a)

Wyznaczamy długość krawędzi AW. Rozważamy trójkąt prostokątny ACW. 

Z twierdzenia Pitagorasa w tym trójkącie mamy:

${\left(4\sqrt{3}\right)}^2+6^2={\left|AW\right|}^2$  

$48+36={\left|AW\right|}^2$  

$84={\left|AW\right|}^2$  

Stąd 

$\left|AW\right|=\sqrt{84}=2\sqrt{21}\text{cm}$  

---

b)

Wyznaczymy cosinus kąta między dłuższymi krawędziami bocznymi. Wyznaczamy długości krawędzi bocznej BW.

Zauważmy, że trójkąty ACW i BCW są przystające na mocy cechy bok - kąt - bok, gdyż:

• $|AC|=|BC|=4\sqrt{3}\text{cm}$
•   $\left|\sphericalangle ACW\right|=\left|\sphericalangle BCW\right|={90}^{\circ }$   
• mają wspólny bok CW

Wobec tego 

$\left|AW\right|=\left|BW\right|=2\sqrt{21}\text{cm}$  

Zauważmy, że 

$2\sqrt{21}>6$  

Oznacza to, że dwoma dłuższymi krawędziami bocznymi są krawędzie AW i BW. 

Rozważamy trójkąt ABW

Rysunek:

Z twierdzenia cosinusów dla tego trójkąta mamy:

${\left(4\sqrt{3}\right)}^2={\left(2\sqrt{21}\right)}^2+{\left(2\sqrt{21}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{21}\cdot 2\sqrt{21}\cdot \cos \alpha$  

$48=84+84-2\cdot 84\cdot \cos \alpha$  

$48=168-168\cos \alpha$  

$168\cos \alpha =168-48$  

$168\cos \alpha =120\mid :168$  

$\cos \alpha =\frac{120}{168}=\frac{15}{21}=\underline{\underline{\frac{5}{7}}}$  

Odp.: Cosinus kąta między dwoma dłuższymi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa jest równy  $\frac{5}{7}$  .  

---

c)

Wyznaczymy miarę kąta nachylenia ściany bocznej BAW do płaszczyzny podstawy ABC.

Rysunek:

Przez E oznaczyliśmy środek krawędzi AB. Trójkąt ABW jest równoramienny.  Prowadzimy wysokości WE i CE w trójkątach ABW i ABC. Kątem nachylenia płaszczyzny ABW do płaszczyzny podstawy ABC jest kąt WEC, na rysunku oznaczony symbolem 𝛽  .

Wyznaczmy długość odcinka EC. 

Odcinek EC jest wysokością trójkąta równobocznego ABC, więc ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymujemy:

$|EC|=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{12}{2}=6$  

Stąd mamy, że

$|EC|=|CW|=6$  

Oznacza to, że trójkąt CEW jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem 

$\beta ={45}^{\circ }$  

Odp.: Kąt nachylenia płaszczyzny ściany bocznej BAW do płaszczyzny podstawy ABC wynosi 45°.