Przypomnijmy, że Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia losowego, które może zakończyć się jednym z dwóch możliwych wyników, zwanych sukcesem lub porażką. Prawdopodobieństwo sukcesu i prawdopodobieństwo porażki w każdym powtórzeniu jest stałe. W schemacie n prób Bernoulliego prawdopodobieństwo  $P\left(S_n=k\right)$   otrzymania k sukcesów, gdzie  $k\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N},k\le n$   wyraża się wzorem: $P\left(S_n=k\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k},$   o ile p jest prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie.

---

Rozważamy następujące doświadczenie losowe wieloetapowe:

Mamy trzy urny z kulami:

• w pierwszej urnie jest 7 kul białych i 3 czarne
• w drugiej urnie jest 6 kul białych i 4 czarne
• w trzeciej urnie jest 5 kul białych i 5 czarnych

Rzucamy sześcienną kostką do gry.

• jeżeli wypadnie jedno oczko - prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe  $\frac{1}{6}$

   to losujemy dwie kule z pierwszej urny

• jeżeli wypadną dwa lub trzy oczka  - prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe  $\frac{2}{6}$

   to losujemy dwie kule z drugiej urny

• jeżeli wypadną cztery, pięć lub sześć oczek - prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe  $\frac{3}{6}$     

   to losujemy dwie kule z trzeciej urny

Powyżej opisane doświadczenie losowe powtarzamy 10 razy. Będzie to schemat 10 prób Bernoulliego, gdzie sukcesem będzie wyciągnięcie w pojedynczej próbie  kul w różnych kolorach. 

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

A - wyciągnięte dwie kule w pojedynczej próbie są w różnych kolorach

Prawdopodobieństwo zdarzenia A będzie prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie. 

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A. Rysujemy drzewo stochastyczne, na którym kolorem niebieskim zaznaczamy krawędzie, które odpowiadają zdarzeniu A.  

Mamy:

  $P\left(A\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{3}{9}+\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{7}{9}+\frac{2}{6}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{4}{9}+\frac{2}{6}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{6}{9}+\frac{3}{6}\cdot \frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}+\frac{3}{6}\cdot \frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}=$  

$=\frac{21}{540}+\frac{21}{540}+\frac{48}{540}+\frac{48}{540}+\frac{75}{540}+\frac{75}{540}=\frac{288}{540}=\frac{72}{135}=\underline{\underline{\frac{8}{15}}}$  

Zatem prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie Bernoulliego jest równe:

$p=\frac{8}{15}$  

a prawdopodobieństwo porażki wynosi

$1-p=1-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}$  

---

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B 

B -  w 10 próbach Bernoulliego otrzymamy 8 sukcesów (8 razy wyciągniemy z urny kule w różnych kolorach)

$P\left(B\right)=P\left(S_{10}=8\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{8}{15}\right)}^8\cdot {\left(\frac{7}{15}\right)}^{10-8}=\underline{\underline{\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{8}{15}\right)}^8\cdot {\left(\frac{7}{15}\right)}^2}}$   

Korzystamy z kalkulatora i otrzymujemy, że szukane prawdopodobieństwo jest w przybliżeniu równe:

$P\left(B\right)\approx 0,064$