Jeśli a, b są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, x, y dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to  $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$   $a^x:a^y=a^{x-y}$   ${\left(a^x\right)}^y=a^{x\cdot y}$   $a^x\cdot b^x={\left(a\cdot b\right)}^x$   $\frac{a^x}{b^x}={\left(\frac{a}{b}\right)}^x$

---

a)

Zauważmy, że 

• $16=2^4$  
• $0,125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3}$  

Zatem korzystając z praw działań na potęgach dostajemy   

$\left(\sqrt[3]{16}\cdot {0,125}^{-0,5}\right)=\sqrt[3]{2^4}\cdot {\left(2^{-3}\right)}^{-\frac{1}{2}}=2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{-3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=$  

$=2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{\frac{3}{2}}=2^{\frac{4}{3}+\frac{3}{2}}=2^{\frac{17}{6}}$  

---

b)

Zauważmy, że 

• $0,008=\frac{8}{1000}=\frac{1}{125}={125}^{-1}$  

wówczas mamy 

$\sqrt[4]{{125}^3}\cdot {0,008}^{-\frac{1}{3}}={125}^{\frac{3}{4}}\cdot {\left({125}^{-1}\right)}^{-\frac{1}{3}}={125}^{\frac{3}{4}}\cdot {125}^{-1\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=$  

$={125}^{\frac{3}{4}}\cdot {125}^{\frac{1}{3}}={125}^{\frac{3}{4}+\frac{1}{3}}={125}^{\frac{13}{12}}={\left(5^3\right)}^{\frac{13}{12}}=5^{3\cdot \frac{13}{12}}=5^{\frac{13}{4}}$  

---

c)

Korzystając z praw działań na potęgach mamy 

$\frac{{0,5}^{-4}\cdot 81}{\sqrt[3]{{216}^{0,6}}}=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}\cdot 3^4}{{216}^{\frac{0,6}{3}}}=\frac{{\left(2^{-1}\right)}^{-4}\cdot 3^4}{{216}^{\frac{\frac{3}{5}}{3}}}=\frac{2^4\cdot 3^4}{{216}^{\frac{1}{5}}}=$  

$=\frac{{\left(2\cdot 3\right)}^4}{{\left(6^3\right)}^{\frac{1}{5}}}=\frac{6^4}{6^{\frac{3}{5}}}=6^{4-\frac{3}{5}}=6^{3\frac{2}{5}}=6^{\frac{17}{5}}$  

---

d)

Korzystając z praw działań na potęgach mamy 

$\frac{{81}^{-0,75}\cdot {12}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{72}}=\frac{{\left(3^4\right)}^{-\frac{3}{4}}\cdot {\left(3\cdot 4\right)}^{\frac{1}{2}}}{{72}^{\frac{1}{3}}}=\frac{3^{4\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}\cdot 3^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{2}}}{{\left(8\cdot 9\right)}^{\frac{1}{3}}}=$  

$=\frac{3^{-3}\cdot 3^{\frac{1}{2}}\cdot {\left(2^2\right)}^{\frac{1}{2}}}{8^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}}=\frac{3^{-3+\frac{1}{2}}\cdot 2^{2\cdot \frac{1}{2}}}{{\left(2^3\right)}^{\frac{1}{3}}\cdot {\left(3^2\right)}^{\frac{1}{3}}}=\frac{3^{-\frac{5}{2}}\cdot 2}{2\cdot 3^{2\cdot \frac{1}{3}}}=$  

$=\frac{3^{-\frac{5}{2}}}{3^{\frac{2}{3}}}=3^{-\frac{5}{2}-\frac{2}{3}}=3^{-\frac{19}{6}}$  

---

e)

Zauważmy, że liczby 4, 8 i 16 możemy zapisać w postaci potęgi o podstawie 2. 

Wówczas korzystając z praw działań na potęgach otrzymujemy 

$\sqrt[4]{{16}^{-\frac{2}{3}}\cdot 8\sqrt[3]{4}}=\sqrt[4]{{\left(2^4\right)}^{-\frac{2}{3}}\cdot 2^3\cdot \sqrt[3]{4}}=$  

$=\sqrt[4]{2^{4\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)}\cdot 2^3\cdot 4^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[4]{2^{-\frac{8}{3}}\cdot 2^3\cdot {\left(2^2\right)}^{\frac{1}{3}}}=$  

$=\sqrt[4]{2^{-\frac{8}{3}+3}\cdot 2^{2\cdot \frac{1}{3}}}=\sqrt[4]{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}}=$  

$=\sqrt[4]{2^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}}=\sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}}$  

---

f)

Korzystając z praw działań na potęgach dostajemy 

$\frac{\sqrt[5]{\frac{1}{16}}\cdot 5^{-0,4}}{50\cdot 2^{0,6}}=\frac{\sqrt[5]{\frac{1}{2^4}}\cdot 5^{-\frac{2}{5}}}{25\cdot 2\cdot 2^{\frac{3}{5}}}=\frac{\sqrt[5]{2^{-4}}\cdot 5^{-\frac{2}{5}}}{5^2\cdot 2^{1+\frac{3}{5}}}=\frac{2^{-\frac{4}{5}}\cdot 5^{-\frac{2}{5}}}{5^2\cdot 2^{\frac{8}{5}}}=$  

$=2^{-\frac{4}{5}-\frac{8}{5}}\cdot 5^{-\frac{2}{5}-2}=2^{-\frac{12}{5}}\cdot 5^{-\frac{12}{5}}={\left(2\cdot 5\right)}^{-\frac{12}{5}}={10}^{-\frac{12}{5}}$