Jeśli a, b są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, x, y dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to  $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$   $a^x:a^y=a^{x-y}$   ${\left(a^x\right)}^y=a^{x\cdot y}$   $a^x\cdot b^x={\left(a\cdot b\right)}^x$   $\frac{a^x}{b^x}={\left(\frac{a}{b}\right)}^x$

---

a)

Korzystając z praw działań na potęgach dostajemy   

$\frac{{\left(7^2\cdot 7^4\right)}^6}{7^{40}:7^3}=\frac{{\left(7^{2+4}\right)}^6}{7^{40-3}}=\frac{{\left(7^6\right)}^6}{7^{37}}=\frac{7^{6\cdot 6}}{7^{37}}=\frac{7^{36}}{7^{37}}=7^{36-37}=7^{-1}=\frac{1}{7}$  

---

b)

Zauważmy, liczby 4 i 16 możemy zapisać w postaci potęgi o podstawie 2. 

Wtedy dostajemy 

$\frac{{\left({16}^{-2}\right)}^3}{4^{-7}\cdot 2^{-9}}=\frac{{\left({\left(2^4\right)}^{-2}\right)}^3}{{\left(2^2\right)}^{-7}\cdot 2^{-9}}=\frac{{\left(2^{4\cdot \left(-2\right)}\right)}^3}{2^{2\cdot \left(-7\right)}\cdot 2^{-9}}=\frac{{\left(2^{-8}\right)}^3}{2^{-14}\cdot 2^{-9}}=\frac{2^{-24}}{2^{-14+\left(-9\right)}}=$  

$=\frac{2^{-24}}{2^{-23}}=2^{-24-\left(-23\right)}=2^{-24+23}=2^{-1}=\frac{1}{2}$  

---

c)

Zauważmy, liczby 9, 27 i 81 możemy zapisać w postaci potęgi o podstawie 3. 

Wtedy dostajemy 

$\frac{\sqrt[3]{81}\cdot 9^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{7}{6}}\cdot \frac{1}{\sqrt{27}}}=\frac{\sqrt[3]{3^4}\cdot {\left(3^2\right)}^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{7}{6}}\cdot \frac{1}{\sqrt{3^3}}}=\frac{3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{2\cdot \frac{2}{3}}}{3^{\frac{7}{6}}\cdot \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}=\frac{3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}}{3^{\frac{7}{6}}\cdot 3^{-\frac{3}{2}}}=$  

$=\frac{3^{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}}{3^{\frac{7}{6}-\frac{3}{2}}}=\frac{3^{\frac{8}{3}}}{3^{-\frac{1}{3}}}=3^{\frac{8}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}=3^{\frac{8}{3}+\frac{1}{3}}=3^3=27$  

---

d)

Zauważmy, że 

$8=\sqrt{64}={64}^{\frac{1}{2}}$  

Pamiętając o kolejności wykonywania działań dostajemy, że 

$8:{13}^{\frac{1}{2}}\cdot {52}^{0,5}=\frac{{64}^{\frac{1}{2}}}{{13}^{\frac{1}{2}}}\cdot {52}^{0,5}={\left(\frac{64}{13}\right)}^{\frac{1}{2}}\cdot {52}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{64}{13}\cdot 52\right)}^{\frac{1}{2}}={256}^{\frac{1}{2}}=16$  

---

e)

Zauważmy, że 

$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}=5\cdot 3^{\frac{1}{2}}$  

Pamiętając o kolejności wykonywania działań mamy 

$\sqrt{75}:3^{1\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{5}{6}}=\frac{5\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{4}{3}}}\cdot 3^{\frac{5}{6}}=5\cdot 3^{\frac{1}{2}-\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{5}{6}}=5\cdot 3^{-\frac{5}{6}}\cdot 3^{\frac{5}{6}}=$  

$=5\cdot 3^{-\frac{5}{6}+\frac{5}{6}}=5\cdot 3^0=5\cdot 1=5$  

---

f)

Zauważmy, że  

$18=2\cdot 9=2\cdot 3^2$  

wtedy korzystając z praw działań na potęgach mamy

${\left({18}^{-\frac{2}{3}}\cdot \sqrt[3]{4}:{27}^{-\frac{1}{6}}\right)}^{-1,2}={\left({\left(2\cdot 3^2\right)}^{-\frac{2}{3}}\cdot 4^{\frac{1}{3}}:{\left(3^3\right)}^{-\frac{1}{6}}\right)}^{-\frac{6}{5}}=$  

$={\left(2^{-\frac{2}{3}}\cdot {\left(3^2\right)}^{-\frac{2}{3}}\cdot {\left(2^2\right)}^{\frac{1}{3}}:3^{3\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)}\right)}^{-\frac{6}{5}}={\left(2^{-\frac{2}{3}}\cdot 3^{2\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)}\cdot 2^{2\cdot \frac{1}{3}}:3^{-\frac{1}{2}}\right)}^{-\frac{6}{5}}=$  

$={\left(2^{-\frac{2}{3}}\cdot 3^{-\frac{4}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}:3^{-\frac{1}{2}}\right)}^{-\frac{6}{5}}={\left(2^{-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}\cdot 3^{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\right)}^{-\frac{6}{5}}=$  

$={\left(2^0\cdot 3^{-\frac{5}{6}}\right)}^{-\frac{6}{5}}={\left(1\cdot 3^{-\frac{5}{6}}\right)}^{-\frac{6}{5}}={\left(3^{-\frac{5}{6}}\right)}^{-\frac{6}{5}}=3^{-\frac{5}{6}\cdot \left(-\frac{6}{5}\right)}=3^1=3$