a)

$5^{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots +\frac{1}{3^n}+\dots }\ge {125}^{\frac{x+1}{x}},n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Założenie:

$x\ne 0$  

---

Rozwiązujemy nierówność:

$5^{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots +\frac{1}{3^n}+\dots }\ge {125}^{\frac{x+1}{x}}$  

$5^{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots +\frac{1}{3^n}+\dots }\ge {\left(5^3\right)}^{\frac{x+1}{x}}$  

$5^{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots +\frac{1}{3^n}+\dots }\ge 5^{3\cdot \frac{x+1}{x}}$  

Funkcja y=5^x jest rosnąca, zatem:

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots +\frac{1}{3^n}+\dots \ge \frac{3x+3}{x}$  

Z lewej strony otrzymujemy sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, gdzie:

$a_1=1,q=\frac{1}{3}$  

zatem lewa strona nierówności ma wartość:

$\text{L}=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$  

więc:

$\frac{3}{2}\ge \frac{3x+3}{x}\mid \cdot x^2$  

$\frac{3}{2}{x}^2\ge \left(3x+3\right)x$  

$\frac{3}{2}{x}^2\ge 3x^2+3x\mid \cdot 2$  

$3x^2\ge 6x^2+6x\mid -3x^2$  

$0\ge 3x^2+6x$  

$0\ge 3x\left(x+2\right)\mid :3$  

$0\ge x\left(x+2\right)$  

$x\in ⟨-2,0⟩\wedge x\ne 0$  

czyli:

$x\in ⟨-2,0)$  

---

---

b)

${\left(\frac{1}{32}\right)}^{1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\dots +{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\dots }\le \frac{4^{-x}}{2^{x^3}},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

${\left(2^{-5}\right)}^{1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\dots +{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\dots }\le \frac{1}{2^{x^3}\cdot 4^x}$  

${\left(2^{-5}\right)}^{1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\dots +{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\dots }\le \frac{1}{2^{x^3}\cdot {\left(2^2\right)}^x}$  

$2^{-5\left(1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\dots +{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\dots \right)}\le \frac{1}{2^{x^3+2x}}$  

$2^{-5\left(1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\dots +{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\dots \right)}\le {\left(2^{x^3+2x}\right)}^{-1}$  

$2^{-5\left(1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\dots +{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\dots \right)}\le 2^{-x^3-2x}$  

$-5\left(1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\dots +{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\dots \right)\le -x^3-2x\mid :\left(-5\right)$  

$1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\dots +{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\dots \ge \frac{-x^3-2x}{-5}$  

Z lewej strony otrzymujemy sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, gdzie:

$a_1=1,q=-\frac{2}{3}$  

 

Lewa strona nierówności ma wartość:

$\text{L}=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{3}{5}$  

zatem:

$\frac{3}{5}\ge \frac{-x^3-2x}{-5}\mid \cdot 5$  

$3\ge x^3+2x\mid -3$  

$0\ge x^3+2x-3$  

Zauważamy, że dla x=1:

$0^3+2\cdot 0-3=0$  

Podzielny wielomian przez dwumian schematem Hornera:

	$1$	$0$	$2$	$-3$
$1$	$1$	$1$	$3$	$0$

---

Otrzymujemy nierówność:

$0\ge \left(x-1\right)\left(x^2+x+3\right)$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$x^2+x+3=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 3<0$  

Zatem funkcja 

$f\left(x\right)=x^2+x+3$

przyjmuje tylko wartości dodatnie.

---

Wnioskujemy, że:

$0\ge x-1\mid +1$  

$1\ge x$  

więc:

$x\in (-\infty ,1⟩$