a)

Rozwiążemy nierówność 

$2^{x+5}+5\cdot 2^{x+2}<34-2^{x+4},x\in \mathbb{R}$  

Przekształcamy obie strony nierówności korzystając z praw działań na potęgach i otrzymujemy 

$2^{x+2+3}+5\cdot 2^{x+2}<34-2^{x+2+2}$  

$2^{x+2}\cdot 2^3+5\cdot 2^{x+2}<34-2^{x+2}\cdot 2^2$  

$8\cdot 2^{x+2}+5\cdot 2^{x+2}<34-4\cdot 2^{x+2}$  

$13\cdot 2^{x+2}<34-4\cdot 2^{x+2}\mid +4\cdot 2^{x+2}$  

$17\cdot 2^{x+2}<34\mid :17$  

$2^{x+2}<2$  

$2^{x+2}<2^1$  

Podstawą potęgi jest liczba większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany (korzystamy z faktu, że funkcja wykładnicza postaci y=a^x gdzie a>1, jest rosnąca), czyli mamy 

$x+2<1\mid -2$  

$x<-1$  

czyli zbiór rozwiązań nierówności jest postaci 

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ,-1\right)}}$  

---

b)

Rozwiążemy nierówność

$3^{x-1}+2\cdot 3^{x+1}>48+3^x,x\in \mathbb{R}$  

Przekształcamy obie strony nierówności korzystając z praw działań na potęgach i otrzymujemy 

$3^{x-1}+2\cdot 3^{x-1+2}>48+3^{x-1+1}$  

$3^{x-1}+2\cdot 3^{x-1}\cdot 3^2>48+3^{x-1}\cdot 3$  

$3^{x-1}+18\cdot 3^{x-1}>48+3\cdot 3^{x-1}$  

$19\cdot 3^{x-1}>48+3\cdot 3^{x-1}\mid -3\cdot 3^{x-1}$  

$16\cdot 3^{x-1}>48\mid :16$  

$3^{x-1}>3$  

$3^{x-1}>3^1$  

Podstawą potęgi jest liczba większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany (korzystamy z faktu, że funkcja wykładnicza postaci y=a^x gdzie a>1, jest rosnąca), czyli mamy 

$x-1>1\mid +1$  

$x>2$  

zatem dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór postaci

$\underline{\underline{x\in \left(2,+\infty \right)}}$  

---

c)

Rozwiążemy nierówność

${0,4}^{x+3}+{2,5}^{-x-2}\le \frac{7}{2},x\in \mathbb{R}$  

Przekształcamy lewą stronę nierówności korzystając z praw działań na potęgach i otrzymujemy 

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+3}+{\left(\frac{5}{2}\right)}^{-x-2}\le \frac{7}{2}$  

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+3}+{\left({\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}\right)}^{-x-2}\le \frac{7}{2}$  

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+3}+{\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+2}\le \frac{7}{2}$  

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+2}\cdot \left(\frac{2}{5}+1\right)\le \frac{7}{2}$  

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+2}\cdot \frac{7}{5}\le \frac{7}{2}\mid :\frac{7}{5}$  

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+2}\le \frac{5}{2}$  

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+2}\le {\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}$  

Podstawą potęgi jest liczba mniejsza od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności zmieniamy na przeciwny (korzystamy z faktu, że funkcja wykładnicza postaci y=a^x gdzie 0<a<1, jest malejąca), czyli mamy 

$x+2\ge -1\mid -2$  

$x\ge -3$  

czyli zbiór rozwiązań nierówności jest postaci 

$\underline{\underline{x\in ⟨-3,+\infty )}}$  

---

d)

Rozwiążemy nierówność 

$3\cdot 2^{x-5}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^{1-0,5x}-11\le 0,x\in \mathbb{R}$  

Przekształcamy lewą stronę nierówności korzystając z praw działań na potęgach i otrzymujemy 

$3\cdot 2^{x-5}+{\left(\frac{1}{2^2}\right)}^{1-0,5x}-11\le 0\mid +11$  

$3\cdot 2^{x-5}+{\left(2^{-2}\right)}^{1-0,5x}\le 11$  

$3\cdot 2^{x-5}+2^{-2\cdot \left(1-0,5x\right)}\le 11$  

$3\cdot 2^{x-5}+2^{-2+x}\le 11$  

$3\cdot 2^{x-2-3}+2^{x-2}\le 11$  

$3\cdot 2^{x-2}\cdot 2^{-3}+2^{x-2}\le 11$  

$3\cdot 2^{x-2}\cdot \frac{1}{8}+2^{x-2}\le 11$  

$\frac{3}{8}\cdot 2^{x-2}+2^{x-2}\le 11$  

$\frac{11}{8}\cdot 2^{x-2}\le 11\mid :\frac{11}{8}$  

$2^{x-2}\le 8$  

$2^{x-2}\le 2^3$  

Podstawą potęgi jest liczba większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany (korzystamy z faktu, że funkcja wykładnicza postaci y=a^x gdzie a>1, jest rosnąca), czyli mamy 

$x-2\le 3\mid +2$  

$x\le 5$  

czyli zbiór rozwiązań nierówności jest postaci 

$\underline{\underline{x\in (-\infty ,5⟩}}$