a)

Rozwiążemy nierówność 

$\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{x+1}}{{\left(2\sqrt[3]{2}\right)}^{x+1}}\ge \sqrt[6]{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-1}},x\in \mathbb{R}$  

Przekształcamy obie strony nierówności korzystając z praw działań na potęgach i mamy 

${\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt[3]{2}}\right)}^{x+1}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{x^2-1}{6}}$  

${\left(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2\cdot 2^{\frac{1}{3}}}\right)}^{x+1}\ge {\left(2^{-1}\right)}^{\frac{x^2-1}{6}}$  

${\left(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{4}{3}}}\right)}^{x+1}\ge 2^{-\frac{x^2-1}{6}}$  

${\left(2^{\frac{1}{2}-\frac{4}{3}}\right)}^{x+1}\ge 2^{\frac{1-x^2}{6}}$  

${\left(2^{-\frac{5}{6}}\right)}^{x+1}\ge 2^{\frac{1-x^2}{6}}$

$2^{-\frac{5}{6}x-\frac{5}{6}}\ge 2^{\frac{1-x^2}{6}}$  

Podstawą potęgi jest liczba większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany, czyli 

$-\frac{5}{6}x-\frac{5}{6}\ge \frac{1-x^2}{6}\mid \cdot 6$  

$-5x-5\ge 1-x^2\mid -1+x^2$  

$x^2-5x-6\ge 0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=25+24=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1=\frac{5-7}{2}=-1$  

$x_2=\frac{5+7}{2}=6$  

korzystając z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności 

$\underline{\underline{x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨6,+\infty )}}$  

---

b)

Rozwiążemy nierówność 

$\sqrt[4]{\frac{{0,08}^{x-5}}{{2,5}^{-x+5}}}<\frac{{\left(\sqrt{5}\right)}^{x^2}}{\sqrt[4]{5}},x\in \mathbb{R}$  

Przekształcamy obie strony nierówności korzystając z praw działań na potęgach i mamy 

$\sqrt[4]{\frac{{\left(\frac{2}{25}\right)}^{x-5}}{{\left(\frac{5}{2}\right)}^{-x+5}}}<\frac{{\left(5^{\frac{1}{2}}\right)}^{x^2}}{5^{\frac{1}{4}}}$  

$\sqrt[4]{\frac{{\left(\frac{2}{25}\right)}^{x-5}}{{\left({\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}\right)}^{-x+5}}}<\frac{5^{\frac{x^2}{2}}}{5^{\frac{1}{4}}}$  

$\sqrt[4]{\frac{{\left(\frac{2}{25}\right)}^{x-5}}{{\left(\frac{2}{5}\right)}^{x-5}}}<5^{\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4}}$  

$\sqrt[4]{{\left(\frac{\frac{2}{25}}{\frac{2}{5}}\right)}^{x-5}}<5^{\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4}}$  

$\sqrt[4]{{\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-5}}<5^{\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4}}$  

${\left(\frac{1}{5}\right)}^{\frac{x-5}{4}}<5^{\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4}}$

${\left(5^{-1}\right)}^{\frac{x-5}{4}}<5^{\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4}}$   

$5^{-\frac{x-5}{4}}<5^{\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4}}$  

Podstawą potęgi jest liczba większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany, czyli 

$-\frac{x-5}{4}<\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4}\mid \cdot 4$  

$-\left(x-5\right)<2x^2-1$  

$-x+5<2x^2-1\mid -2x^2+1$  

$-2x^2-x+6<0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 6=1+48=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1=\frac{1-7}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{3}{2}$  

$x_2=\frac{1+7}{2\cdot \left(-2\right)}=-2$  

korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór 

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)}}$  

---

c)

Rozwiążemy nierówność 

$\sqrt{{\left(2-3^x\right)}^2}<7,x\in \mathbb{R}$  

Przekształcamy nierówność i otrzymujemy 

$\left|2-3^x\right|<7$  

z własności wartości bezwzględnej dostajemy

$2-3^x<7\wedge 2-3^x>-7$   

Ad.1)

$2-3^x<7\mid -2$  

$-3^x<5\mid :\left(-1\right)$  

$3^x>-5$  

zbiorem wartości funkcji wykładniczej y = 3^x , x ∈ R jest przedział (0,+oo), czyli nierówność 3^x > 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x, czyli

$x\in \mathbb{R}$  

Ad.2)

$2-3^x>-7\mid -2$  

$-3^x>-9\mid :\left(-1\right)$

$3^x<9$  

$3^x<3^2$  

 Podstawą potęgi jest liczba większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany, czyli 

$x<2$  

Zatem z 1) i 2) dostajemy, że 

$x\in \mathbb{R}\wedge x<2$  

czyli 

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ,2\right)}}$  

---

d)

Rozwiążemy nierówność 

$\sqrt{{\left(4^{-x}-5\right)}^2}>27,x\in \mathbb{R}$  

Przekształcamy nierówność i otrzymujemy 

$\left|4^{-x}-5\right|>27$  

z własności wartości bezwzględnej dostajemy

$4^{-x}-5>27\vee 4^{-x}-5<-27$   

Ad.1)

$4^{-x}-5>27\mid +5$  

$4^{-x}>32$  

${\left(2^2\right)}^{-x}>2^5$  

$2^{-2x}>2^5$  

 Podstawą potęgi jest liczba większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany, czyli 

$-2x>5\mid :\left(-2\right)$  

$x<-\frac{5}{2}=-2\frac{1}{2}$  

czyli 

$x\in \left(-\infty ,-2\frac{1}{2}\right)$  

Ad.2)

$4^{-x}-5<-27\mid +5$  

$4^{-x}<-22$  

${\left(\frac{1}{4}\right)}^x<-22$  

zbiorem wartości funkcji wykładniczej y = (¹/₄)^x , x ∈ R jest przedział (0,+oo), czyli dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi 

${\left(\frac{1}{4}\right)}^x>0$  

czyli nierówność 

${\left(\frac{1}{4}\right)}^x<-22$  

jest sprzeczna (nie ma rozwiązania). 

Zatem z 1) i 2) dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ,-2\frac{1}{2}\right)}}$