Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku

Zauważmy, że trójkąt ACD ma takie same kąty jak CDE: α oraz kąt prosty. Zatem zachodzi

$\left|\sphericalangle CAD\right|=\left|\sphericalangle CED\right|$  

Zauważmy, że to oznacza, że trójkąt ACE jest równoramienny i środkowa ma taką samą długość jak bok AC. Możemy również wyliczyć kąty

$\left|\sphericalangle CAD\right|=90-\alpha$

$\left|\sphericalangle ABC\right|=90-2\alpha$   

Zauważmy, że środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach (dzielimy podstawę na dwa równe odcinki a wysokość pozostaje ta sama): ACE i BCE.

Zastosujmy twierdzenie sinusów dla trójkąta ACE

$\frac{a}{\sin 2\alpha }=\frac{b}{\sin \left({90}^{\circ }-\alpha \right)}$

$\frac{a}{\sin 2\alpha }=\frac{b}{\cos \alpha }\left(1\right)$

 Zastosujmy twierdzenie sinusów dla trójkąta BCE

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \left({90}^{\circ }-2\alpha \right)}$  

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\cos 2\alpha }\left(2\right)$  

Z (1) mamy

$\frac{a}{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{b}{\cos \alpha }$  

$\frac{a}{2\sin \alpha }=b$  

$a=2b\sin \alpha$  

Podstawiamy do (2) i otrzymujemy

$\frac{2b\sin \alpha }{\sin \alpha }=\frac{b}{\cos 2\alpha }$  

$2b=\frac{b}{\cos 2\alpha }$  

$2=\frac{1}{\cos 2\alpha }$  

$\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$  

Stąd

$2\alpha ={60}^{\circ }$  

$\alpha ={30}^{\circ }$

Zatem

$3\alpha ={90}^{\circ }$

a stąd wynika, że trójkąt ABC jest prostokątny.

c.b.d.u.