Rysunek pomocniczy:

Wyznaczmy miarę kąta CAB (z sumy miar kątów w trójkącie ABC):

$\left|\sphericalangle CAB\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$  

Możemy zauważyć, że trójkąt ABC to trójkąt o kątach 30^o, 60^o, 90^o.   

$\left|BC\right|=a$  

$\left|AB\right|=2a$  

$\left|AC\right|=a\sqrt{3}$  

Z własności funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:

$\frac{\left|CD\right|}{\left|BD\right|}=\mathrm{tg}{60}^{\circ }$  

$\frac{\left|CD\right|}{\left|BD\right|}=\sqrt{3}$  

$\left|CD\right|=\left|BD\right|\sqrt{3}$  

$\frac{\left|CD\right|}{\sqrt{3}}=\left|BD\right|$  

oraz

$\frac{\left|CD\right|}{\left|AD\right|}=\mathrm{tg}{30}^{\circ }$  

$\frac{\left|CD\right|}{\left|AD\right|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

$3\left|CD\right|=\sqrt{3}\left|AD\right|$  

$\frac{3\left|CD\right|}{\sqrt{3}}=\left|AD\right|$  

Zatem:

$\frac{\left|AD\right|}{\left|DB\right|}=\frac{\frac{3|CD|}{\sqrt{3}}}{\frac{|CD|}{\sqrt{3}}}=\frac{3\left|CD\right|}{\left|CD\right|}=3$  

Zatem pokazaliśmy że |AD|:|DB|=3:1.