Wykaż, że grupa 101 parlamentarzystów...- Zadanie 8: MATeMAtyka 4. Maturalne karty pracy ze zbiorem zadań. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Jeśli mamy 101 parlamentarzystów, to ustawa zostanie przegłosowana, jeśli co najmniej 51 z nich odda głos "ZA".

Zapiszmy, ile jest wszystkich możliwych wyników głosowania. Głos "ZA" może oddać 0 parlamentarzystów z 101, 1 ze 101, 2 ze 101 itd. aż do 101 parlamentarzystów ze 101 (wszyscy głosują "ZA").

Liczba wszystkich możliwych wyników głosowania jest więc równa:

$(1010) + (1011) + (1012) + (1013) + \dots + (10199) + (101100) + (101101)$

Zauważmy, że możemy skorzystać ze wzoru Newtona i zapisać powyższą sumę w skróconej formie:

$(1010) + (1011) + (1012) + (1013) + \dots + (10199) + (101100) + (101101) =$

$= (1010) \cdot 1^{101} + (1011) \cdot 1^{100} \cdot 1 + (1012) \cdot 1^{99} \cdot 1^{2} + (1013) \cdot 1^{98} \cdot 1^{3} + \dots + (10199) \cdot 1^{2} \cdot 1^{99} + (101100) \cdot 1 \cdot 1^{100} + (101101) \cdot 1^{100} = (1 + 1)^{101} = 2^{101}$

Tak jak zauważyliśmy na początku, ustawa zostanie przegłosowana, jeśli co najmniej 51 parlamentarzystów odda głos "ZA". Liczba sposobów takiego głosowania jest równa:

$(10151) + (10152) + (1013) + \dots + (10199) + (101100) + (101101)$