W ostrosłup prawidłowy czworokątny...- Zadanie 5: MATeMAtyka 4. Maturalne karty pracy ze zbiorem zadań. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że jeśli wpiszemy kulę w ostrosłup i poprowadzimy płaszczyznę przekrój tego ostrosłupa (zawierający wysokości ścian bocznych) będzie miał postać

Z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym (oznaczony w nim został kąt prosty i kąt α) otrzymujemy:

$\frac{r}{\frac{1}{2} a} = t g α$

$r = \frac{1}{2} a t g α$

$2 r = a t g α$

Zauważmy, że aby móc wpisać okrąg w czworokąt (rozważamy czworokąt, który jest przekrojem dolnej bryły) musi być spełniony warunek:

$a + b = d + d$

$\frac{a + b}{2} = d$

Rozważmy trójkąt zamalowany na szaro

Z twierdzenia Pitagorasa zachodzi

$(2 r)^{2} + (\frac{a - b}{2})^{2} = d^{2}$

$4 r^{2} + \frac{a ^{2} - 2 a b + b ^{2}}{4} = (\frac{a + b}{2})^{2}$

$4 r^{2} + \frac{a ^{2} - 2 a b + b ^{2}}{4} = \frac{a ^{2} + 2 a b + b ^{2}}{4} ∣ \cdot 4$

$16 r^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} ∣ - a^{2} + 2 a b - b^{2}$

$16 r^{2} = 4 a b ∣ : 16$

$r^{2} = \frac{a b}{4}$

$r = \frac{a b}{2}$

$2 r = a b$

Zatem:

$a b = a t g α$

$a b = a^{2} t g^{2} α ∣ : a$

$b = a t g^{2} α$

Z podobieństwa trójkątów zachodzącego w całym przekroju otrzymujemy:

$\frac{c}{b} = \frac{H}{a}$

$\frac{c}{b} = \frac{c + 2 r}{a}$

$c a = b c + b \cdot 2 r$

$c a = a t g^{2} α \cdot c + a t g^{2} α \cdot a t g α ∣ : a$

$c = c \cdot t g^{2} α + a t g^{3} α$

$c - c \cdot t g^{2} α = a t g^{3} α$

$c (1 - t g^{2} α) = a t g^{3} α ∣ : (1 - t g^{2} α)$

$c = \frac{a t g ^{3} α}{1 - t g ^{2} α}$

Obliczmy objętość wielościanu znajdującego się nad płaszczyzną przekroju.

$V_{1} = \frac{1}{3} b^{2} c = \frac{1}{3} (a t g^{2} α)^{2} \cdot \frac{a t g ^{3} α}{1 - t g ^{2} α} = \frac{1}{3} a^{2} t g^{4} α \cdot \frac{a t g ^{3} α}{1 - t g ^{2} α} = \frac{1}{3} a^{3} t g^{7} α \cdot \frac{1}{1 - t g ^{2} α} = \frac{a ^{3} t g ^{7} α}{3 ( 1 - t g ^{2} α )}$

Obliczmy objętość wielościanu pod płaszczyzną przekroju.

$V_{2} = \frac{1}{3} a^{2} H - V_{1} = \frac{1}{3} a^{2} \cdot (c + 2 r) - \frac{a ^{3} t g ^{7} α}{3 ( 1 - t g ^{2} α )} =$

$= \frac{1}{3} a^{2} (\frac{a t g ^{3} α}{1 - t g ^{2} α} + a t g α) - \frac{a ^{3} t g ^{7} α}{3 ( 1 - t g ^{2} α )}$

$= \frac{1}{3} a^{3} t g α (\frac{t g ^{2} α}{1 - t g ^{2} α} + 1) - \frac{a ^{3} t g ^{7} α}{3 ( 1 - t g ^{2} α )} =$

$= \frac{1}{3} a^{3} t g α (\frac{t g ^{2} α}{1 - t g ^{2} α} + \frac{1 - t g ^{2} α}{1 - t g ^{2} α}) - \frac{a ^{3} t g ^{7} α}{3 ( 1 - t g ^{2} α )} =$