Rysunek pomocniczy

Wiemy, że pole kwadratu wpisanego w górną podstawę jest 4-krotnie mniejsze niż pole kwadratu opisanego na dolnej podstawie.

Zauważmy, że

  $2r=a\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$  

$\frac{2r}{\sqrt{2}}=a$  

$\frac{2r\sqrt{2}}{2}=a$  

$r\sqrt{2}=a$  

oraz

$2R=b$  

Z treści zadania wiemy, że:

$4a^2=b^2$  

$4{\left(r\sqrt{2}\right)}^2={\left(2R\right)}^2$  

$4r^2\cdot 2=4R^2\mid :4$  

$2r^2=R^2$  

$\sqrt{2}r=R$  

Zatem

$\frac{r}{R}=\frac{r}{\sqrt{2}r}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Skala podobieństwa tych trójkątów wynosi

  $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Zauważmy, że z podobieństwa trójkątów otrzymujemy:

$\frac{r}{y}=\frac{R}{y+l}$  

$r\cdot \left(y+l\right)=y\cdot R$  

$ry+rl=y\cdot \sqrt{2}r\mid :r$  

$y+l=\sqrt{2}y$  

---

Pole podstawy

$P_p=\pi R^2=\pi {\left(\sqrt{2}r\right)}^2=\pi \cdot 2r^2$  

Pole boczne

$P_b=\pi R\left(y+l\right)-\pi ry=\pi R\sqrt{2}y-\pi ry=\pi y\left(R\sqrt{2}-r\right)=\pi y\left(\sqrt{2}r\cdot \sqrt{2}-r\right)=\pi y\left(2r-r\right)=\pi yr$  

Zatem z treści zadania mamy stosunek pól równy

$\frac{\pi \cdot 2r^2}{\pi yr}=\sqrt{3}$  

$\frac{2r}{y}=\sqrt{3}\mid :2$  

$\frac{r}{y}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Wiemy, że

$\cos \alpha =\frac{r}{y}$  

Zatem

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\alpha ={30}^{\circ }$