Narysujmy stożek wpisany w kulę.

 

Narysujmy przekrój kuli wraz z przekrojem stożka.

Wiemy, że R = 12. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku możemy wywnioskować, że 

$H=12+x$  

$x=H-12$

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

$x^2+r^2={12}^2$  

$x^2+r^2=144$  

${\left(H-12\right)}^2+r^2=144$  

$r^2=144-{\left(H-12\right)}^2$  

$r^2=144-\left(H^2-24H+144\right)$  

$r^2=144-H^2+24H-144$  

$r^2=-H^2+24H$  

Objętość stożka policzymy ze wzoru

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}H=\frac{1}{3}\pi \left(-H^2+24H\right)\cdot H=\frac{1}{3}\pi \left(-H^3+24H^2\right)$  

Niech

$V\left(H\right)=\frac{1}{3}\pi \left(-H^3+24H^2\right)=-\frac{1}{3}\pi H^3+8\pi H^2,H>0$  

Obliczamy pochodną w celu znalezienia maksimum

$V{}^{\prime }\left(H\right)=-\pi H^2+16\pi H$  

Szukamy miejsca zerowego

$-\pi H^2+16\pi H=0$  

$\pi H\left(16-H\right)=0,H>0$   

Zatem

$H=16\text{cm}$  

Zauważmy, że wykres pochodnej ma postać

Zatem w tym punkcie mamy maksimum lokalne ponieważ pochodna zmienia znak. Obliczmy

$r^2=-{16}^2+24\cdot 16$  

$r^2=-256+384$  

$r^2=128$  

$r=\sqrt{128}$  

$r=8\sqrt{2}\text{cm}$  

W takim razie

$H_{\text{max}}=16\text{cm}$  

$r_{\text{max}}=8\sqrt{2}\text{cm}$