W torebce znajdują się
- 4 landrynki mandarynkowe,
- 6 landrynek ananasowych,
- 5 landrynek wiśniowych,
czyli razem 15 landrynek.

Losujemy z torebki 2 landrynki (kolejno, bez zwracania). 

a)

Rozważmy zdarzenia

M - wylosowano mandarynkową landrynkę
R - wylosowano landrynki różnych smaków

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania mandarynkowej landrynki, pod warunkiem, że wylosowane landrynki są różnych smaków, czyli interesuje nas P(M|R).

Zauważmy, że

$P\left(M\mid R\right)=\frac{P\left(M\cap R\right)}{P\left(R\right)}=\frac{P\left(M\cap R\right)}{1-P\left(R{}^{\prime }\right)}$

gdzie 

M∩R - wylosowano mandarynki różnych smaków, przy czym jedna z nich jest mandarynkowa
R' - wylosowano landrynki o tym samym smaku

Narysujmy pomocniczo drzewko, ilustrujące to doświadczenie.

Niebieskie gałęzie drzewka odpowiadają zdarzeniu M∩R, zaś zielone - zdarzeniu R'.

Mamy więc 

$P\left(M\mid R\right)=\frac{P\left(M\cap R\right)}{1-P\left(R{}^{\prime }\right)}=\frac{\frac{4}{15}\cdot \frac{6}{14}+\frac{4}{15}\cdot \frac{5}{14}+\frac{6}{15}\cdot \frac{4}{14}+\frac{5}{15}\cdot \frac{4}{14}}{1-\left(\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{14}+\frac{6}{15}\cdot \frac{5}{14}+\frac{5}{15}\cdot \frac{4}{14}\right)}=\frac{\frac{88}{210}}{1-\frac{62}{210}}=\frac{\frac{88}{210}}{\frac{148}{210}}=\frac{88}{148}=\underline{\underline{\frac{22}{37}}}$

---

b)

Rozważmy zdarzenia

A - za drugim razem wylosowano landrynkę ananasową
B - za pierwszym razem wylosowano landrynkę inną niż ananasowa

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania ananasowej landrynki za drugim razem, pod warunkiem, że za pierwszym razem wylosowano landrynkę inną niż ananasowa, czyli interesuje nas P(A|B).

Zauważmy, że

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\cap B\right)}{1-P\left(B{}^{\prime }\right)}$

gdzie 

A∩B - za pierwszym razem wylosowano landrynkę inną niż ananasowa, a za drugim razem -
           landrynkę ananasową
B' - za pierwszym razem wylosowano landrynkę ananasową

Narysujmy pomocniczo drzewko, ilustrujące to doświadczenie.

Niebieskie gałęzie drzewka odpowiadają zdarzeniu A∩B, zaś zielone - zdarzeniu B'.

Mamy więc 

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{1-P\left(B{}^{\prime }\right)}=\frac{\frac{4}{15}\cdot \frac{6}{14}+\frac{5}{15}\cdot \frac{6}{14}}{1-\left(\frac{6}{15}\cdot \frac{4}{14}+\frac{6}{15}\cdot \frac{5}{14}+\frac{6}{15}\cdot \frac{5}{14}\right)}=\frac{\frac{54}{210}}{1-\frac{84}{210}}=\frac{\frac{54}{210}}{\frac{126}{210}}=\frac{54}{126}=\underline{\underline{\frac{3}{7}}}$

---

c)

Rozważmy zdarzenia

T - wylosowano landrynki o tym samym smaku
W - wśród wylosowanych landrynek nie ma landrynki wiśniowej

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania landrynek o tym samym smaku, pod warunkiem, że nie ma wśród nich landrynki wiśniowej, czyli interesuje nas P(T|W).

Zauważmy, że

$P\left(T\mid W\right)=\frac{P\left(T\cap W\right)}{P\left(W\right)}$

gdzie 

T∩W - wylosowano landrynki o tym samym smaku - ale nie wiśniowe
            (czyli innymi słowy, wylosowano obie landrynki mandarynkowe lub obie landrynki ananasowe)

Narysujmy pomocniczo drzewko, ilustrujące to doświadczenie.

Niebieskie gałęzie drzewka odpowiadają zdarzeniu T∩W, zaś zielone - zdarzeniu W.

Mamy więc 

$P\left(T\mid W\right)=\frac{P\left(T\cap W\right)}{P\left(W\right)}=\frac{\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{14}+\frac{6}{15}\cdot \frac{5}{14}}{\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{14}+\frac{4}{15}\cdot \frac{6}{14}+\frac{6}{15}\cdot \frac{4}{14}+\frac{6}{15}\cdot \frac{5}{14}}=\frac{\frac{42}{210}}{\frac{90}{210}}=\frac{42}{90}=\underline{\underline{\frac{7}{15}}}$

---

d)

Rozważmy zdarzenia

C - co najmniej jedna z wylosowanych landrynek jest wiśniowa
D - co najwyżej jedna z wylosowanych landrynek jest mandarynkowa

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedna z wylosowanych landrynek jest wiśniowa, pod warunkiem, że co najwyżej jedna z wylosowanych landrynek jest mandarynkowa, czyli interesuje nas P(C|D).

Zauważmy, że

$P\left(C\mid D\right)=\frac{P\left(C\cap D\right)}{P\left(D\right)}=\frac{P\left(C\cap D\right)}{1-P\left(D{}^{\prime }\right)}$

gdzie 

C∩D - co najmniej jedna z wylosowanych landrynek jest wiśniowa i co najwyżej jedna z wylosowanych
           landrynek jest mandarynkowa (czyli innymi słowy albo wylosowano 1 landrynkę wiśniową i 1
           o smaku innym niż wiśniowy, albo wylosowano obie landrynki wiśniowe)

D' - obie wylosowane landrynki są mandarynkowe

Narysujmy pomocniczo drzewko, ilustrujące to doświadczenie.

Niebieskie gałęzie drzewka odpowiadają zdarzeniu C∩D, zaś zielona - zdarzeniu D'.

Mamy więc 

$P\left(C\mid D\right)=\frac{P\left(C\cap D\right)}{1-P\left(D{}^{\prime }\right)}=\frac{\frac{4}{15}\cdot \frac{5}{14}+\frac{6}{15}\cdot \frac{5}{14}+\frac{5}{15}\cdot \frac{4}{14}+\frac{5}{14}\cdot \frac{6}{14}+\frac{5}{15}\cdot \frac{4}{14}}{1-\left(\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{14}\right)}=\frac{\frac{120}{210}}{1-\frac{12}{210}}=\frac{\frac{120}{210}}{\frac{198}{210}}=$

$=\frac{120}{198}=\underline{\underline{\frac{20}{33}}}$