Wybieramy losowo 1 osobę spośród uczniów pewnej klasy. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω tego doświadczenia rozumiemy jako zbiór wszystkich uczniów tej klasy.

Rozważmy zdarzenia

Ch - losowo wybrana osoba z klasy jest chłopcem
MR - losowo wybrana osoba z klasy będzie zdawać maturę rozszerzoną z matematyki

Zaznaczmy zdarzenia Ch i MR na diagramie.

Wówczas łatwo zauważyć, że

Ch∩MR - losowo wybrana osoba z klasy jest chłopcem i będzie zdawać maturę rozszerzoną z matematyki
                (czyli to chłopiec zdający maturę rozszerzoną z matematyki)

---

a)

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba będzie zdawać maturę rozszerzoną z matematyki. Czyli

$P\left(MR\right)=?$  

Skoro 30% wszystkich uczniów będzie zdawać maturę z matematyki na poziomie rozszerzonym, to

$\left|MR\right|=30\%\left|\Omega \right|=0,3\left|\Omega \right|$

Zatem 

$P\left(MR\right)=\frac{\left|MR\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{0,3\left|\Omega \right|}{\left|\Omega \right|}=\underline{\underline{0,3=\frac{3}{10}}}$

---

b)

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba będzie zdawać maturę rozszerzoną z matematyki - pod warunkiem, że była wybierana spośród chłopców. Czyli

$P\left(MR\mid Ch\right)=?$

Z treści zadania wiemy, że chłopcy zdający maturę rozszerzona z matematyki stanowią ¹/₃ wszystkich osób zdających maturę rozszerzoną z matematyki, czyli

$\left|Ch\cap MR\right|=\frac{1}{3}\left|MR\right|$  

zatem

$P\left(Ch\cap MR\right)=\frac{\left|Ch\cap MR\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{\frac{1}{3}\left|MR\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{1}{3}\frac{\left|MR\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{1}{3}P\left(MR\right)=\frac{1}{3}\cdot 0,3=0,1$  

Wiemy także, że chłopcy stanowią 40% wszystkich osób w klasie, czyli 

$P\left(Ch\right)=\frac{40\%\left|\Omega \right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{0,4\left|\Omega \right|}{\left|\Omega \right|}=0,4$  

$P\left(MR\mid Ch\right)=\frac{P\left(Ch\cap MR\right)}{P\left(Ch\right)}=\frac{0,1}{0,4}=\underline{\underline{\frac{1}{4}}}$  

---

c)

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba będzie zdawać maturę rozszerzoną z matematyki - pod warunkiem, że była wybierana spośród dziewcząt. Zauważmy, że

Ch' - losowo wybrana osoba z klasy nie jest chłopcem (czyli jest dziewczyną)

Czyli

$P\left(MR\mid Ch{}^{\prime }\right)=?$

Z treści zadania wiemy, że chłopcy zdający maturę rozszerzona z matematyki stanowią ¹/₃ wszystkich osób zdających maturę rozszerzoną z matematyki, więc dziewczęta stanowią pozostałą część, czyli ²/₃ wszystkich osób zdających maturę rozszerzoną z matematyki. Zatem

$\left|Ch{}^{\prime }\cap MR\right|=\frac{2}{3}\left|MR\right|$  

zatem

$P\left(Ch{}^{\prime }\cap MR\right)=\frac{\left|Ch{}^{\prime }\cap MR\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{\frac{2}{3}\left|MR\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{2}{3}\frac{\left|MR\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{2}{3}P\left(MR\right)=\frac{2}{3}\cdot 0,3=0,2$  

Ponadto, skoro

$P\left(Ch\right)=0,4$

to

$P\left(Ch{}^{\prime }\right)=1-P\left(Ch\right)=1-0,4=0,6$   

Zatem otrzymujemy

$P\left(MR\mid Ch{}^{\prime }\right)=\frac{P\left(Ch{}^{\prime }\cap MR\right)}{P\left(Ch{}^{\prime }\right)}=\frac{0,2}{0,6}=\underline{\underline{\frac{1}{3}}}$