Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym   Jeżeli B1, B2, ... , Bn są zdarzeniami zawartymi w przestrzeni Ω, spełniającymi trzy warunki: zdarzenia te parami się wykluczają prawdopodobieństwo każdego z tych zdarzeń jest większe od 0 sumą tych zdarzeń jest cała przestrzeń Ω  to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A zawartego w przestrzeni Ω możemy obliczyć ze wzoru:   $\mathbf{P}\left(\mathbf{A}\right)=\mathbf{P}\left({\mathbf{B}}_1\right)\cdot \mathbf{P}\left(\mathbf{A}\mid {\mathbf{B}}_1\right)+\mathbf{P}\left({\mathbf{B}}_2\right)\cdot \mathbf{P}\left(\mathbf{A}\mid {\mathbf{B}}_2\right)+\dots +\mathbf{P}\left({\mathbf{B}}_{\mathbf{n}}\right)\cdot \mathbf{P}\left(\mathbf{A}\mid {\mathbf{B}}_{\mathbf{n}}\right)$

Rozważmy zdarzenia

O - na monecie wypadł orzeł
A - na co najmniej jednej kostce wypadła szóstka

Wówczas

O' - na monecie wypadła reszka

 

Obliczamy P(A|O).

A∩O - na monecie wypadł orzeł i na co najmniej jednej kostce (z dwóch kostek sześciennych) wypadła szóstka

Narysujmy pomocniczo drzewko ilustrujące to doświadczenie.

Niebieskie gałęzie odpowiadają zdarzeniu A∩O, a różowe - O.

Wobec tego P(A|O) jest równe

$P\left(A\mid O\right)=\frac{P\left(A\cap O\right)}{P\left(O\right)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}}=\frac{\frac{11}{72}}{\frac{36}{72}}=\underline{\underline{\frac{11}{36}}}$  

 

Obliczamy P(A|O').

A∩O' - na monecie wypadła reszka i na co najmniej jednej kostce (z dwóch kostek sześciennych)
            wypadła szóstka

Zauważmy, że 

(A∩O')' - na monecie wypadł orzeł i na kostce wypadła dowolna liczba lub na monecie wypadła
                reszka i na co najmniej jednej kostce (z dwóch kostek sześciennych) wypadła szóstka

Narysujmy pomocniczo drzewko ilustrujące to doświadczenie.

Zielone gałęzie odpowiadają zdarzeniu (A∩O')', a różowe - O'. Zauważmy, że zielona część drzewka po lewej stronie pokrywa się z częścią odpowiadającą zdarzeniu O. Z kolei zaznaczono na różowo część drzewka odpowiada zdarzeniu przeciwnemu do zdarzenia O, a z wcześniejszych obliczeń wiemy już, że

$P\left(O\right)=\frac{36}{72}=\frac{1}{2}$  

Spostrzeżenia te wykorzystujemy do obliczenia P(A|O'). Mamy więc

$P\left(A\mid O{}^{\prime }\right)=\frac{P\left(A\cap O{}^{\prime }\right)}{P\left(O{}^{\prime }\right)}=\frac{1-P\left(\left(A\cap O{}^{\prime }\right){}^{\prime }\right)}{1-P\left(O\right)}=\frac{1-\left(P\left(O\right)+\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\right)}{1-P\left(O\right)}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}+\frac{125}{432}\right)}{1-\frac{1}{2}}=$  

$=\frac{1-\left(\frac{216}{432}+\frac{125}{432}\right)}{\frac{1}{2}}=\frac{1-\frac{341}{432}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{91}{432}}{\frac{1}{2}}=\frac{91}{{}_{216}\sout{432}}\cdot {\sout{2}}^1=\underline{\underline{\frac{91}{216}}}$  

 

Obliczamy P(A).

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy, że P(A) jest równe

$P\left(A\right)=P\left(O\right)\cdot P\left(A\mid O\right)+P\left(O{}^{\prime }\right)\cdot P\left(A\mid O{}^{\prime }\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{36}+\frac{1}{2}\cdot \frac{91}{216}=\frac{11}{72}+\frac{91}{432}=$  

$=\frac{66}{472}+\frac{91}{472}=\underline{\underline{\frac{157}{472}}}$