Jeżeli A i B są zdarzeniami zawartymi w przestrzeni Ω, i P(B)>0, to prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym, oznaczamy symbolem P(A|B) i obliczamy ze wzoru   $P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

---

KOMENTARZ:    Zauważ, że $P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{|A\cap B|}{|\Omega |}}{\frac{|B|}{|\Omega |}}=\frac{\left|A\cap B\right|}{\left|\Omega \right|}\cdot \frac{\left|\Omega \right|}{\left|B\right|}=\frac{\left|A\cap B\right|}{\left|B\right|}$     zatem można korzystać z uproszczonej wersji wzoru z ramki, tj.: $\mathbf{P}\left(\mathbf{A}\mid \mathbf{B}\right)=\frac{\left|\mathbf{A}\cap \mathbf{B}\right|}{\left|\mathbf{B}\right|}$

Losujemy 1 z 25 liczb ze zbioru {1, 2, 3, ... , 25}.

a)

Rozważmy zdarzenia

A - wylosowano liczbę podzielna przez 3 lub przez 4
B - wylosowano liczbę większą od 8

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem że zaszło B.

Wyznaczamy |B|.

$B=\left\{9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25\right\}$

$\left|B\right|=17$   

Wyznaczamy |A∩B|.

A∩B - wylosowano liczbę większą od 8, która jest podzielna przez 3 lub przez 4

$A\cap B=\left\{9,12,15,16,18,20,21,24\right\}$  

$\left|A\cap B\right|=8$   

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem, że zaszło B, jest równe

$P\left(A\mid B\right)=\frac{\left|A\cap B\right|}{\left|B\right|}=\underline{\underline{\frac{8}{17}}}$  

---

b)

Rozważmy zdarzenia

B - wylosowano liczbę większą od 8
A - wylosowano liczbę podzielna przez 3 lub przez 4

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia B, pod warunkiem że zaszło A.

Wyznaczamy |A|.

$A=\left\{3,4,6,8,9,12,15,16,18,20,21,24\right\}$

$\left|A\right|=12$   

Z podpunktu a) wiemy, że

$\left|A\cap B\right|=8$   

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia B, pod warunkiem, że zaszło A, jest równe

$P\left(B\mid A\right)=\frac{\left|A\cap B\right|}{\left|A\right|}=\frac{8}{12}=\underline{\underline{\frac{2}{3}}}$  

---

c)

Rozważmy zdarzenia

B - wylosowano liczbę większą od 8
C - wylosowano liczbę nieparzystą lub liczbę podzielną przez 5

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia B, pod warunkiem że zaszło C.

Wyznaczamy |C|.

$C=\left\{1,3,5,7,9,10,11,13,15,17,19,20,21,23,25\right\}$

$\left|C\right|=15$   

Wyznaczamy |B∩C|.

B∩C - wylosowano liczbę większą od 8, która jest nieparzysta lub podzielna przez 5

$B\cap C=\left\{10,11,13,15,17,19,20,21,23,25\right\}$   

$\left|B\cap C\right|=11$   

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia B, pod warunkiem, że zaszło C, jest równe

$P\left(B\mid C\right)=\frac{\left|C\cap B\right|}{\left|C\right|}=\underline{\underline{\frac{11}{15}}}$  

---

d)

Rozważmy zdarzenia

C - wylosowano liczbę nieparzystą lub liczbę podzielną przez 5
A - wylosowano liczbę podzielna przez 3 lub przez 4

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia C, pod warunkiem że zaszło A.

Z podpunktu b) wiemy już, że 

$\left|A\right|=12$   

Wyznaczamy |A∩C|.

A∩C - wylosowano liczbę nieparzystą lub podzielną przez 5, która jednocześnie jest podzielna przez 3
            lub przez 4

$A\cap C=\left\{3,5,9,15,21\right\}$  

$\left|A\cap C\right|=5$   

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia C, pod warunkiem, że zaszło A, jest równe

$P\left(C\mid A\right)=\frac{\left|A\cap C\right|}{\left|A\right|}=\underline{\underline{\frac{5}{12}}}$  

---

e)

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A', pod warunkiem że zaszło C'.

Wyznaczamy |C'|.

Skoro wiemy już, że

$C=\left\{1,3,5,7,9,10,11,13,15,17,19,20,21,23,25\right\}$

to

$C{}^{\prime }=\left\{2,4,6,8,12,14,16,18,22,24\right\}$  

więc

$\left|C{}^{\prime }\right|=10$   

Wyznaczamy |A'∩C'|.

Skoro wiemy już, że

$A=\left\{3,4,6,8,9,12,15,16,18,20,21,24\right\}$

to

$A{}^{\prime }=\left\{1,2,5,7,10,11,13,14,17,19,22,23,25\right\}$

więc

$A{}^{\prime }\cap C{}^{\prime }=\left\{2,14,22\right\}$  

czyli

$\left|A{}^{\prime }\cap C{}^{\prime }\right|=3$  

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A', pod warunkiem, że zaszło C', jest równe

$P\left(A{}^{\prime }\mid C{}^{\prime }\right)=\frac{\left|A{}^{\prime }\cap C{}^{\prime }\right|}{\left|C{}^{\prime }\right|}=\underline{\underline{\frac{3}{10}}}$  

---

f)

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia C, pod warunkiem że zaszło B'.

Wyznaczamy |B'|.

Skoro wiemy już, że

$B=\left\{9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25\right\}$

to

$B{}^{\prime }=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$  

czyli

$\left|B\right|=8$   

Wyznaczamy |C∩B'|.

Skoro wiemy już, że

$C=\left\{1,3,5,7,9,10,11,13,15,17,19,20,21,23,25\right\}$

to

$C\cap B{}^{\prime }=\left\{1,3,5,7\right\}$  

czyli

$\left|C\cap B{}^{\prime }\right|=4$   

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia C, pod warunkiem, że zaszło B', jest równe

$P\left(C\mid B\right)=\frac{\left|C\cap B{}^{\prime }\right|}{\left|B{}^{\prime }\right|}=\frac{4}{8}=\underline{\underline{\frac{1}{2}}}$