Jeżeli A i B są zdarzeniami zawartymi w przestrzeni Ω, i P(B)>0, to prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym, oznaczamy symbolem P(A|B) i obliczamy ze wzoru   $P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. 

Wówczas 

$\left|\Omega \right|=6\cdot 6=36$  

a)

Niech

A - iloczyn wyrzuconych oczek jest większy od 8
B - w obu rzutach wypadła nieparzysta liczba oczek

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, przy założeniu, że zaszło zdarzenie B - czyli mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem że B.

Zauważmy, że

A∩B - iloczyn wyrzuconych oczek jest większy od 8 i obie wyrzucone liczby są nieparzyste

$B=\left\{\left(1,1\right),\left(1,3\right),\left(1,5\right),\left(3,1\right),\left(3,3\right),\left(3,5\right),\left(5,1\right),\left(5,3\right),\left(5,5\right)\right\}$

$P\left(B\right)=\frac{9}{36}$

$A\cap B=\left\{\left(3,3\right),\left(3,5\right),\left(5,3\right),\left(5,5\right)\right\}$

$P\left(A\cap B\right)=\frac{4}{36}$

Zatem prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek jest większy od 8, skoro w obu rzutach wypadła nieparzysta liczba oczek, jest równe

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{4}{36}}{\frac{9}{36}}=\underline{\underline{\frac{4}{9}}}$  

---

b)

Niech

A - w obu rzutach wypadła nieparzysta liczba oczek
B - iloczyn wyrzuconych oczek jest większy od 12

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem że B.

Zauważmy, że

A∩B - obie wyrzucone liczby są nieparzyste i ich iloczyn jest większy od 12

$B=\left\{\left(3,5\right),\left(3,6\right),\left(4,4\right),\left(4,5\right),\left(4,6\right),\left(5,3\right),\left(5,4\right),\left(5,5\right),\left(5,6\right),\left(6,3\right),\left(6,4\right),\left(6,5\right),\left(6,6\right)\right\}$

$P\left(B\right)=\frac{13}{36}$

$A\cap B=\left\{\left(3,5\right),\left(5,3\right),\left(5,5\right)\right\}$

$P\left(A\cap B\right)=\frac{3}{36}$

Zatem prawdopodobieństwo wyrzucenia w obu rzutach nieparzystej liczby oczek, pod warunkiem, że ich iloczyn jest większy od 12, jest równe

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{3}{36}}{\frac{13}{36}}=\underline{\underline{\frac{3}{13}}}$    

---

c)

Niech

A - w obu rzutach wypadła parzysta liczba oczek
B - za pierwszym razem wyrzucono mniej oczek niż za drugim razem

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem że B.

Zauważmy, że

A∩B - w obu rzutach wypadła parzysta liczba oczek, przy czym za pierwszym razem wyrzucono
            mniej oczek niż za drugim razem

$B=\{\left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(1,5\right),\left(1,6\right),$  
$\left(2,3\right),\left(2,4\right),\left(2,5\right),\left(2,6\right),$  
$\left(3,4\right),\left(3,5\right),\left(3,6\right),$  
$\left(4,5\right),\left(4,6\right),$  
$\left(5,6\right)\}$

$P\left(B\right)=\frac{15}{36}$

$A\cap B=\left\{\left(2,4\right),\left(2,6\right),\left(4,6\right)\right\}$

$P\left(A\cap B\right)=\frac{3}{36}$

Zatem prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby oczek w obu rzutach, pod warunkiem, że za pierwszym razem wyrzucono mniej oczek niż za drugim razem, jest równe

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{3}{36}}{\frac{15}{36}}=\frac{3}{15}=\underline{\underline{\frac{1}{5}}}$    

---

d)

Niech

A - co najmniej raz wyrzucono parzystą liczbę oczek
B - suma wyrzuconych oczek jest liczbą większą od 5

Rozważmy więc

A∩B - co najmniej raz wyrzucono parzystą liczbę oczek, przy czym suma wyrzuconych oczek jest
            liczbą większą od 5

Wówczas

$A\cap B=\{\left(1,6\right),$   
$\left(2,4\right),\left(2,5\right),\left(2,6\right),$  
$\left(3,4\right),\left(3,6\right),$  
$\left(4,2\right),\left(4,3\right),\left(4,4\right),\left(4,5\right),\left(4,6\right),$  
$\left(5,2\right),\left(5,4\right),\left(5,6\right),$  
$\left(6,1\right),\left(6,2\right),\left(6,3\right),\left(6,4\right),\left(6,5\right),\left(6,6\right)\}$    

$P\left(A\cap B\right)=\frac{20}{36}$  

Prawdopodobieństwo zdarzenia B najłatwiej będzie obliczyć, korzystając z faktu, że

$P\left(B\right)=1-P\left(B{}^{\prime }\right)$

Rozważmy więc

B' - suma wyrzuconych oczek jest liczbą nie większą niż 5 

Wówczas

$B{}^{\prime }=\left\{\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(2,1\right),\left(2,2\right),\left(2,3\right),\left(3,1\right),\left(3,2\right),\left(4,1\right)\right\}$  

$P\left(B{}^{\prime }\right)=\frac{10}{36}$

więc 

$P\left(B\right)=1-\frac{10}{36}=\frac{26}{36}$  

Zatem prawdopodobieństwo tego, że co najmniej raz wyrzucono parzystą liczbę oczek, pod warunkiem, że suma wyrzuconych oczek jest liczbą większą od 5, jest równe

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{20}{36}}{\frac{26}{36}}=\frac{20}{26}=\underline{\underline{\frac{10}{13}}}$

---

d)

Niech

A - w obu rzutach wyrzucono liczbę oczek, będącą liczbą pierwszą
B - iloczyn wyrzuconych oczek jest mniejszy od 20

Rozważmy więc

A∩B - obie wyrzucone liczby są liczbami pierwszymi i ich iloczyn jest mniejszy od 20

Wówczas

$A\cap B=\left\{\left(2,2\right),\left(2,3\right),\left(2,5\right),\left(3,2\right),\left(3,3\right),\left(3,5\right),\left(5,2\right),\left(5,3\right)\right\}$

$P\left(A\cap B\right)=\frac{8}{36}$  

Prawdopodobieństwo zdarzenia B najłatwiej będzie obliczyć, korzystając z faktu, że

$P\left(B\right)=1-P\left(B{}^{\prime }\right)$

Rozważmy więc

B' - iloczyn wyrzuconych oczek jest większy lub równy 20

Wówczas

$B{}^{\prime }=\left\{\left(4,5\right),\left(4,6\right),\left(5,4\right),\left(5,5\right),\left(5,6\right),\left(6,4\right),\left(6,5\right),\left(6,6\right)\right\}$  

$P\left(B{}^{\prime }\right)=\frac{8}{36}$

więc 

$P\left(B\right)=1-\frac{9}{36}=\frac{28}{36}$  

Zatem prawdopodobieństwo tego, że co najmniej raz wyrzucono parzystą liczbę oczek, pod warunkiem, że suma wyrzuconych oczek jest liczbą większą od 5, jest równe

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{8}{36}}{\frac{28}{36}}=\frac{8}{28}=\underline{\underline{\frac{2}{7}}}$

---

d)

Niech

A - suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza od 8
B - co najmniej raz wypadła czwórka

Rozważmy więc

A∩B - co najmniej raz wypadła czwórka i suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza od 8

Wówczas

$A\cap B=\left\{\left(4,4\right),\left(4,5\right),\left(5,4\right),\left(4,6\right),\left(6,4\right)\right\}$

$P\left(A\cap B\right)=\frac{5}{36}$  

Prawdopodobieństwo zdarzenia B najłatwiej będzie obliczyć, korzystając z faktu, że

$P\left(B\right)=1-P\left(B{}^{\prime }\right)$

Rozważmy więc

B' - w żadnym rzucie nie wypadła czwórka

Zdarzeniu B' sprzyja wyrzucenie w każdym rzucie jednej z 5 liczb (bez czwórki). Zatem

$\left|B{}^{\prime }\right|=5\cdot 5=25$  

$P\left(B{}^{\prime }\right)=\frac{25}{11}$  

Więc

$P\left(B\right)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$  

Zatem prawdopodobieństwo tego, że suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza od 8, pod warunkiem, że co najmniej raz wypadła czwórka, jest równe

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{5}{36}}{\frac{11}{36}}=\underline{\underline{\frac{5}{11}}}$