Jeżeli A i B są zdarzeniami zawartymi w przestrzeni Ω, i P(B)>0, to prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym, oznaczamy symbolem P(A|B) i obliczamy ze wzoru   $P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. 

Wówczas 

$\left|\Omega \right|=6\cdot 6=36$  

a)

Niech

A - suma wyników w obu rzutach wyniesie 6

$A=\left\{\left(1,5\right),\left(2,4\right),\left(3,3\right),\left(4,2\right),\left(5,1\right)\right\}$

$\left|A\right|=5$

 Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

$P\left(A\right)=\underline{\underline{\frac{5}{36}}}$    

---

b)

Niech

A - suma wyników w obu rzutach wyniesie 6
B - za pierwszym razem wypadły 3 oczka

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, przy założeniu, że zaszło zdarzenie B - czyli mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem że B.

Zauważmy, że

$A=\left\{\left(1,5\right),\left(2,4\right),\left(3,3\right),\left(4,2\right),\left(5,1\right)\right\}$

$B=\left\{\left(3,1\right),\left(3,2\right),\left(3,3\right),\left(3,4\right),\left(3,5\right),\left(3,6\right)\right\}$	$P\left(B\right)=\frac{6}{36}$
$A\cap B=\left\{\left(3,3\right)\right\}$	$P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{36}$

Zatem prawdopodobieństwo otrzymania sumy wyników równej 6, pod warunkiem, że w pierwszym rzucie wypadła 3, jest równe

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{1}{36}}{\frac{6}{36}}=\frac{1}{36}\cdot \frac{36}{6}=\underline{\underline{\frac{1}{6}}}$    

---

c)

Niech

A - suma wyników w obu rzutach wyniesie 6
B - w obu rzutach wypadła parzysta liczba oczek

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, przy założeniu, że zaszło zdarzenie B - czyli mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem że B.

Zauważmy, że

$A=\left\{\left(1,5\right),\left(2,4\right),\left(3,3\right),\left(4,2\right),\left(5,1\right)\right\}$

$B=\left\{\left(2,2\right),\left(2,4\right),\left(2,6\right),\left(4,2\right),\left(4,4\right),\left(4,6\right),\left(6,2\right),\left(6,4\right),\left(6,6\right)\right\}$	$P\left(B\right)=\frac{9}{36}$
$A\cap B=\left\{\left(2,4\right),\left(4,2\right)\right\}$	$P\left(A\cap B\right)=\frac{2}{36}$

Zatem prawdopodobieństwo otrzymania sumy wyników równej 6, pod warunkiem, że w obu rzutach wypadła parzysta liczba oczek, jest równe

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{9}{36}}=\frac{2}{36}\cdot \frac{36}{9}=\underline{\underline{\frac{2}{9}}}$    

---

d)

Niech

A - suma wyników w obu rzutach wyniesie 6
B - za pierwszym razem wyrzucono liczbę oczek nie mniejszą od liczby oczek
      wyrzuconych za drugim razem 

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, przy założeniu, że zaszło zdarzenie B - czyli mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem że B.

Zauważmy, że

$A=\left\{\left(1,5\right),\left(2,4\right),\left(3,3\right),\left(4,2\right),\left(5,1\right)\right\}$

$B=\{\left(1,1\right),$   $\left(2,2\right),\left(2,1\right),$   $\left(3,3\right),\left(3,2\right),\left(3,1\right),$   $\left(4,4\right),\left(4,3\right),\left(4,2\right),\left(4,1\right),$   $\left(5,5\right),\left(5,4\right),\left(5,3\right),\left(5,2\right),\left(5,1\right),$   $\left(6,6\right),\left(6,5\right),\left(6,4\right),\left(6,3\right),\left(6,2\right),\left(6,1\right)\}$	$P\left(B\right)=\frac{21}{36}$
$A\cap B=\left\{\left(3,3\right),\left(4,2\right),\left(5,1\right)\right\}$	$P\left(A\cap B\right)=\frac{3}{36}$

Zatem prawdopodobieństwo otrzymania sumy wyników równej 6, pod warunkiem, że za pierwszym razem wyrzucono liczbę oczek nie mniejszą od liczby oczek wyrzuconych za drugim razem, jest równe

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{3}{36}}{\frac{21}{36}}=\frac{3}{36}\cdot \frac{36}{21}=\frac{3}{21}=\underline{\underline{\frac{1}{7}}}$