W grze Lotto losuje się 6 spośród...- Zadanie 185: Matematyka z plusem 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

W grze Lotto losuje się 6 spośród liczb naturalnych ze zbioru {1,2,3,4,...,49}.

Zauważmy, że liczbę możliwych wyników losowania zawierających liczbę 1 otrzymamy , odejmując od liczby wszystkich możliwych wyników losowania (I), liczbę wyników wśród których nie ma liczby 1 (II).

Ad.I.

Liczba sposobów, na które można wylosować 6 spośród 49 liczb jest równa liczbie 6-elementowych kombinacji ze zbioru 49-elementowego, czyli jest ich

$(496) = \frac{49 !}{6 ! \cdot ( 49 - 6 ) !} = \frac{49 !}{6 ! \cdot 43 !} = \frac{43 ! \cdot 44 \cdot 45 \cdot 46 \cdot 47 \cdot 48 \cdot 49}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 43 !} = 13983816$

Ad.II.

Rozważmy wyniki losowania nie zawierające liczby 1. Wówczas wynikiem losowania ma być 6 liczb ze zbioru {2,3,4,...,49}.

Losujemy więc 6 spośród 48 liczb, czyli rozważamy 6-elementowe kombinacje ze zbioru 48-elementowego, których jest

$(486) = \frac{48 !}{6 ! \cdot ( 48 - 6 ) !} = \frac{48 !}{6 ! \cdot 42 !} = \frac{42 ! \cdot 43 \cdot 44 \cdot 45 \cdot 46 \cdot 47 \cdot 48}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 42 !} = 12271512$

Z przypadków I i II dostajemy, że łączna liczba wyników losowania zawierających liczbę 1 jest równa

$(496) - (486) = 13983816 - 12271512 = 1712304$

Gracz skreśla 6 spośród 49 liczb ze zbioru {1,2,3,4,...,49}.

Zauważmy, że wynikiem losowania będą liczby, z których żadna nie została skreślona przez gracza, wtedy, gdy wylosujemy 6 spośród 49-6=43 liczb, które nie zostały przez niego skreślone.

Liczba sposobów, na które można wylosować 6 spośród 43 liczb jest równa liczbie 6-elementowych kombinacji ze zbioru 43-elementowego, czyli jest ich

$(436) = \frac{43 !}{6 ! \cdot ( 43 - 6 ) !} = \frac{43 !}{6 ! \cdot 37 !} = \frac{37 ! \cdot 38 \cdot 39 \cdot 40 \cdot 41 \cdot 42 \cdot 43}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 37 !} = 6096454$