a) Wyznaczamy współrzędne punktów wspólnych okręgu k i prostej l.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ y=3x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(3x\right)}^2=5\\ y=3x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+9x^2=5\\ y=3x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}10x^2=5\mid :10\\ y=3x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{1}{2}\\ y=3x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ y=3x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=3x\end{array}$  

Mamy dwie możliwości:

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=3x\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=3x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=3\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=-\frac{3\sqrt{2}}{2}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{3\sqrt{2}}{2}\end{array}$  

Szukane punkty mają współrzędne:

$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right),\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$  

---

b) Wyznaczamy współrzędne punktów wspólnych okręgu k i prostej l.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=10\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(2x-1\right)}^2=10\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+4x^2-4x+1=10\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5x^2-4x+1=10\mid -10\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5x^2-4x-9=0\\ y=2x-1\end{array}$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 5\cdot \left(-9\right)=16+180=196$  

Wyznaczamy pierwiastki.

$x_1=\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{196}}{2\cdot 5}=\frac{4-14}{10}=\frac{-10}{10}=-1$  

$x_2=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{196}}{2\cdot 5}=\frac{4+14}{10}=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}$  

Mamy dwie możliwości:

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2x-1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{5}\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\cdot \left(-1\right)-1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{5}\\ y=2\cdot \frac{9}{5}-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2-1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{5}\\ y=\frac{18}{5}-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{5}\\ y=\frac{13}{5}\end{array}$  

Szukane punkty mają współrzędne:

$\left(-1,-3\right),\left(\frac{9}{5},\frac{13}{5}\right)$