a) Równanie danej prostej zapiszemy w postaci kierunkowej.

$x-y+5=0\mid +y$  

$x+5=y$  

Środek okręgu S leży na prostej o równaniu y=x+5, więc: 

$S=\left(x,x+5\right)$  

Odległość środka okręgu od punktów leżących na okręgu jest taka sama, zatem:

$\left|SA\right|=\left|SB\right|$  

$\sqrt{{\left(x_A-x_S\right)}^2+{\left(y_A-y_S\right)}^2}=\sqrt{{\left(x_B-x_S\right)}^2+{\left(y_B-y_S\right)}^2}$  

$\sqrt{{\left(-7-x\right)}^2+{\left(4-\left(x+5\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-1-x\right)}^2+{\left(6-\left(x+5\right)\right)}^2}$  

$\sqrt{{\left(-7-x\right)}^2+{\left(4-x-5\right)}^2}=\sqrt{{\left(-1-x\right)}^2+{\left(6-x-5\right)}^2}$  

$\sqrt{{\left(-7-x\right)}^2+{\left(-x-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(-1-x\right)}^2+{\left(-x+1\right)}^2}$  

${\left(-7-x\right)}^2+{\left(-x-1\right)}^2={\left(-1-x\right)}^2+{\left(-x+1\right)}^2$  

$49+14x+x^2+x^2+2x+1=1+2x+x^2+x^2-2x+1$  

$49+14x+\cancel{x^2}+\cancel{x^2}+2x+1=1+2x+\cancel{x^2}+\cancel{x^2}-2x+1$  

$16x+50=2\mid -50$  

$16x=-48\mid :16$  

$x=-3$  

Wyznaczamy drugą współrzędną środka okręgu.

$y=x+5=-3+5=2$  

Zatem:

$S=\left(-3,2\right)$  

Wyznaczamy długość promienia okręgu.

$r=\left|SA\right|=$  

$=\sqrt{{\left(x_A-x_S\right)}^2+{\left(y_A-y_S\right)}^2}=$  

$=\sqrt{{\left(-7-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(4-2\right)}^2}=$  

$=\sqrt{{\left(-7+3\right)}^2+2^2}=$  

$=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+4}=$  

$=\sqrt{16+4}=$  

$=\sqrt{20}=$  

$=2\sqrt{5}$  

Zapisujemy równanie szukanego okręgu.

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20$  

---

b) Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.

Punkty A i B leżą na prostej y=-1, pierwsze współrzędne tych punktów są równe -5 oraz 3, zatem symetralna boku AB dana jest równaniem:

$x=-1$  

Teraz wyznaczymy równanie symetralnej boku BC.

Wyznaczamy współrzędne środka tego boku.

$M=\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)=$  

$=\left(\frac{3+\left(-3\right)}{2},\frac{-1+1}{2}\right)=$  

$=\left(\frac{0}{2},\frac{0}{2}\right)=$  

$=\left(0,0\right)$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej BC.

$a_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{1-\left(-1\right)}{-3-3}=\frac{1+1}{-6}=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}$  

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1. Równanie symetralnej boku BC możemy więc zapisać w postaci:

$y=3x+b$  

Do tej prostej należy punkt M, zatem:

$0=3\cdot 0+b$  

$0=0+b$

$0=b$   

Symetralna boku BC dana jest równaniem:

$y=3x$  

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia symetralnych.

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=3x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=3\cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-3\end{array}$  

Zatem:

$S=\left(-1,-3\right)$  

Wyznaczamy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

$r=\left|SA\right|=$  

$=\sqrt{{\left(x_A-x_S\right)}^2+{\left(y_A-y_S\right)}^2}=$  

$=\sqrt{{\left(-5-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-1-\left(-3\right)\right)}^2}=$  

$=\sqrt{{\left(-5+1\right)}^2+{\left(-1+3\right)}^2}=$  

$=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+2^2}=$  

$=\sqrt{16+4}=$  

$=\sqrt{20}=$  

$=2\sqrt{5}$  

Zapisujemy równanie szukanego okręgu.

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=20$