Poprowadźmy przekątną BD kwadratu ABCD. Oznaczmy przez S punkt przecięcia przekątnych AC i BD. 

Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym, zatem trójkąt LSB jest prostokątny.

Z twierdzenia Pitagorasa:

${\left|BL\right|}^2={\left|LS\right|}^2+{\left|SB\right|}^2$

więc

$\left|BL\right|=\sqrt{{\left|LS\right|}^2+{\left|SB\right|}^2}\left(\left|BL\right|>0\text{jako długosˊcˊ odcinka}\right)$  

Szukamy długości odcinków LS i SB.

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, więc

$\underline{\left|SB\right|=\frac{1}{2}a\sqrt{2}}$  

oraz

$\left|AS\right|=\left|CL\right|=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$

Z treści zadania wiemy, że

$\left|AK\right|=\left|CL\right|=\frac{1}{3}a\sqrt{2}$  

Zatem możemy wnioskować, że odcinki KS i LS są równe oraz

$\left|KS\right|=\left|LS\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}a\sqrt{2}$  

Stąd

$\underline{\left|LS\right|=\frac{1}{6}a\sqrt{2}}$  

Zatem otrzymujemy:

$\left|BL\right|=\sqrt{{\left(\frac{1}{6}a\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}a\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{36}+\frac{2a^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2}{18}+\frac{a^2}{2}}=$  

$=\sqrt{\frac{a^2}{18}+\frac{9a^2}{18}}=\sqrt{\frac{10a^2}{18}}=\sqrt{\frac{5a^2}{9}}=\frac{\left|a\right|}{3}\sqrt{5}\stackrel{\left(\ast \right)}{=}\frac{a\sqrt{5}}{3}$  

${}_{\left(\ast \right)a>0\text{jako długosˊcˊ boku kwadratu, więc}|a|=a}$  

Odp.: C