Założenia:

Jak na rysunku:

AD - dwusieczna kąta BAC

---

Teza:

$\frac{P_{ABD}}{P_{ACD}}=\frac{c}{b}$  

---

Dowód:

Poprowadźmy wysokość h z wierzchołka A trójkąta ABC.

Zauważmy, że h jest zarówno wysokością trójkąta ABD (poprowadzoną do boku BD), jak i trójkąta ACD (poprowadzoną do przedłużenia boku DC). 

Zatem

$\frac{P_{ABD}}{P_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot |BD|\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot |DC|\cdot h}=\frac{|BD|}{|DC|}$  

Z twierdzenia o dwusiecznej wiemy, że 

$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|BA|}{|AC|}$

czyli

$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{c}{b}$

Wobec tego otrzymujemy, że

$\frac{P_{ABD}}{P_{ACD}}=\frac{c}{b}$

cnd.