Wyznaczamy funkcję d, opisującą dochód firmy X w zależności od liczby Q tysięcy sztuk sprzedawanego towaru. 

Dochód d [zł] firmy obliczymy, określając jej miesięczny przychód p [zł] i pomniejszając go o koszt K [zł] - przy czym wszystkie te wielkości zależą od liczby Q [tys. sztuk] sprzedawanego towaru.

Otrzymujemy więc następującą funkcję d zmiennej Q: 

$d\left(Q\right)=p\left(Q\right)-K\left(Q\right)$  

Przychód p [zł] firmy obliczymy, mnożąc liczbę Q [tys. sztuk] sprzedawanego towaru przez kwotę P [zł], jaką firma uzyskuje za sprzedanie jednostki towaru. Zatem 

$p\left(Q\right)=Q\cdot P\left(Q\right)=Q\cdot \left(90-0,1Q\right)=90Q-0,1Q^2\text{dla}Q\in ⟨0;900⟩$

Z treści zadania wiemy, że

$K\left(Q\right)=0,002Q^3+Q^2+29,9985Q+50$  

Otrzymujemy więc, że

$d\left(Q\right)=\underset{p\left(Q\right)}{\underbrace{90Q-0,1Q^2}}-\underset{K\left(Q\right)}{\underbrace{\left(0,002Q^3+Q^2+29,9985Q+50\right)}}$

Stąd

$\underline{\underline{\mathbf{d}\left(\mathbf{Q}\right)=-0,002{\mathbf{Q}}^3-1,1{\mathbf{Q}}^2+60,0015\mathbf{Q}-50\text{dla}Q\in ⟨0;900⟩}}$

Szukamy Q, dla którego funkcja d przyjmuje największą wartość.

Funkcja d jest różniczkowalna w przedziale (0; 900).

• Wyznaczamy jej pochodną:

$d{}^{\prime }\left(Q\right)=\left(-0,002Q^3-1,1Q^2+60,0015Q-50\right){}^{\prime }=d\left(Q\right)=-0,006Q^2-2,2Q+60,0015$ gdzie
$Q\in \left(0;900\right)$    
    

• Szukamy Q ∈ (0; 900) "podejrzanych" o występowanie ekstremów:

$d{}^{\prime }\left(Q\right)=0\iff -0,006Q^2-2,2Q+60,0015=0\mid \cdot 1000$

$-6Q^2-2200Q+60001,5=0$

$\Delta ={\left(-2200\right)}^2-4\cdot \left(-6\right)\cdot 60001,5=6280036$  

$\sqrt{\Delta }=2506$   

$Q=\frac{2200-2506}{2\cdot \left(-6\right)}=25,5\in \left(0;900\right)\vee \underset{\text{odrzucamy}}{Q=\frac{2200+2506}{2\cdot \left(-6\right)}<0}$     
      

• Porównujemy wartość funkcji d w "podejrzanym" punkcie z granicami na krańcach jej dziedziny:

$\diamond \underset{Q\to 0^{+}}{\lim }d\left(Q\right)=\underset{Q\to 0^{+}}{\lim }\left(-0,002Q^3-1,1Q^2+60,0015Q-50\right)=$
$=\left[-0,002\cdot 0^3-1,1\cdot 0^2+60,0015\cdot 0-50\right]=-50$  

$\diamond d\left(25,5\right)=-0,002\cdot {\left(25,5\right)}^3-1,1\cdot {\left(25,5\right)}^2+60,0015\cdot \left(25,5\right)-50=731,6005$

$\diamond \underset{Q\to {900}^{-}}{\lim }d\left(Q\right)=\underset{Q\to {900}^{-}}{\lim }\left(-0,002Q^3-1,1Q^2+60,0015Q-50\right)=$
$=\left[-0,002\cdot {900}^3-1,1\cdot {900}^2+60,0015\cdot 900-50\right]=-2295048,65$

Zatem skoro

$d\left(25,5\right)>\underset{Q\to 0^{+}}{\lim }d\left(Q\right)\text{oraz}d\left(25,5\right)>\underset{Q\to {900}^{-}}{\lim }d\left(Q\right)$  

to funkcja d osiąga wartość największą dla Q = 25,5.

Możemy więc wnioskować, że dochód firmy jest największy, jeśli liczba wyprodukowanego towaru wynosi

$Q=25,5\left[\text{tys. sztuk}\right]$  

Zatem dochód firmy jest największy, jeśli liczba wyprodukowanych sztuk towaru jest równa:

$\underline{\underline{25500}}$