Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

przy czym długości x i y krawędzi zbiornika wyrażone są w metrach.

Wyznaczymy wymiary x [m] i y [m] zbiornika, przy których koszt jego wykonania jest najmniejszy.

W oparciu o dane z zadania, koszt K wykonania zbiornika w zależności od x i y możemy wyrazić w następujący sposób:

$K=100\cdot x^2+75\cdot 4xy,\text{gdzie}0<x\le 9,0<y\le 9$   

Wiemy, że pojemność zbiornika ma być równa 144 m³, zatem

$x^2\cdot y=144$

Stąd

$y=\frac{144}{x^2}$

Wobec tego koszt K wykonania zbiornika w zależności od x opisuje funkcja:

$K\left(x\right)=100\cdot x^2+75\cdot 4x\cdot \frac{144}{x^2}$

Czyli

$K\left(x\right)=100x^2+\frac{43200}{x}$    

Ustalamy jej dziedzinę.

$\{\begin{array}{l}0<x\le 9\\ 0<y\le 9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\in (0;9⟩\\ 0<\frac{144}{x^2}\le 9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\in (0;9⟩\\ x\in (-\infty ;-4⟩\cup ⟨4;+\infty )\end{array}\iff x\in (4;9⟩$

$0<\frac{144}{x^2}\le 9\mid \cdot x^2\left(x\ne 0\right)$

$0<144\le 9x^2$

$9x^2\ge 144$

$9x^2-144\ge 0$    

$\underset{x_1=4}{\left(3x-12\right)}\underset{x_2=-4}{\left(3x+12\right)}\ge 0$

$x\in (-\infty ;-4⟩\cup ⟨4;+\infty )$   

Zatem

$D_K=(4;9⟩$  

Szukamy x, dla którego funkcja K przyjmuje najmniejszą wartość.

• Funkcja K jest różniczkowalna w przedziale (4; 9). Wyznaczamy pochodną:
  
  $K{}^{\prime }\left(x\right)=\left(100x^2+\frac{43200}{x}\right){}^{\prime }=200x-\frac{43200}{x^2},x\in \left(4;9\right)$
  
  
• Wyznaczamy x ∈ (4; 9) podejrzane o występowanie ekstremów:
  
  $K{}^{\prime }\left(x\right)=0\iff 200x-\frac{43200}{x^2}=0\mid \cdot x^2$  
  $200x^3-43200=0$
  $200x^3=43200$
  $x^3=216$   
  $x=6\in \left(4;9\right)$   
  
  
• Badamy, czy dla x = 6 funkcja K przyjmuje najmniejszą wartość.
  
  $\diamond K\left(6\right)=100\cdot 6^2+\frac{43200}{6}=10800$
   
  $\diamond \underset{x\to 0^{+}}{\lim }K\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(100x^2+\frac{43200}{x}\right)=\left[100\cdot 0^2+\frac{43200}{0^{+}}\right]=+\infty$  
   
  $\diamond K\left(9\right)=100\cdot 9^2+\frac{43200}{9}=12900$   
  
  $K\left(6\right)<\underset{x\to 0^{+}}{\lim }K\left(x\right)\text{oraz}K\left(6\right)<K\left(9\right)$  

Zatem możemy wnioskować, że funkcja K osiąga najmniejszą wartość dla

$x=6$

Wtedy

$y=\frac{144}{6^2}=4$  

Oznacza to, że koszt wykonania zbiornika jest najmniejszy, gdy ma on następujące wymiary:

$\underline{\underline{6\text{m}\times 6\text{m}\times 4\text{m}}}$