Pokażemy, że funkcja

$f\left(x\right)=\frac{3x}{x+1},\text{gdzie}x\in \left(-1;+\infty \right)$

jest funkcją rosnącą.

Wyznaczamy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{3x}{x+1}\right){}^{\prime }=\frac{\left(3x\right){}^{\prime }\cdot \left(x+1\right)-\left(3x\right)\cdot \left(x+1\right){}^{\prime }}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{3\cdot \left(x+1\right)-3x\cdot 1}{{\left(x+1\right)}^2}$

Stąd

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2},\text{gdzie}x\in \left(-1;+\infty \right)$   

Zauważmy, że dla x ∈ (-1; +∞)

• licznik pochodnej jest dodatni (jako stała dodatnia)
• mianownik pochodnej jest dodatni (jako kwadrat liczby rzeczywistej)

Zatem

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-1;+\infty \right)$

Oznacza to, że funkcja f jest rosnąca w (-1;+oo).

Pokazaliśmy więc, że funkcja f jest funkcją rosnącą, cnd.