Cząsteczka porusza się wzdłuż...- Zadanie 115: Matematyka z plusem 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Zgodnie z treścią zadania, przemieszczenie d(t) cząsteczki od punktu P (w metrach) po t sekundach od momentu rozpoczęcia obserwacji opisuje funkcja

$d (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t + 5, t \geq 0$

Aby zmienić kierunek ruchu, cząsteczka musi najpierw całkowicie wyhamować. Należy więc sprawdzić, po jakim czasie t od początku obserwacji prędkość chwilowa cząsteczki (czyli pochodna funkcji d w punkcie t) jest równa zeru.

W tym celu rozwiązujemy równanie:

$d^{'} (t) = 0$

$(t^{3} - 9 t^{2} + 24 t + 5)^{'} = 0$

$3 t^{2} - 18 t + 24 = 0 ∣ : 3$

$t^{2} - 6 t + 8 = 0$

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4$

$Δ = 2$

$t_{1} = \frac{6 - 2}{2 \cdot 1} = 2$

$t_{2} = \frac{6 + 2}{2 \cdot 1} = 4$

Odp.: Cząsteczka zmienia kierunek ruchu dwukrotnie: po upływie 2 sekund i po upływie 4 sekund od momentu rozpoczęcia obserwacji.

Przyspieszenie chwilowe jest pochodną prędkości po czasie - czyli drugą pochodną przemieszczenia po czasie. Zatem, aby sprawdzić, kiedy przyspieszenie jest równe 0 ^m/s², rozwiązujemy równanie:

$d^{''} (t) = 0 (t \geq 0)$

$(d^{'} (t))^{'} = 0$

$(3 t^{2} - 18 t + 24)^{'} = 0$

$6 t - 18 = 0$

$t = 3$

Obliczamy prędkość cząsteczki po 3 s od momentu rozpoczęcia obserwacji:

$v (3) = d^{'} (3) = 3 \cdot 3^{2} - 18 \cdot 3 + 24 = - 3$

Odp.: Prędkość cząsteczki wynosi -3 ^m/s.

Aby wyznaczyć największe przemieszczenie cząstki, szukamy największej wartości funkcji r danej wzorem:

$r (t) = d (t) - d (0) = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t + 5 - 5 = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t$

w przedziale ⟨0; 4⟩. Funkcja r opisuje przemieszczenie cząsteczki (w metrach) względem jej położenia zaobserwowanego na początku doświadczenia w miarę upływu czasu t (w sekundach).

Wyznaczamy pochodną funkcji r.

$r^{'} (t) = (t^{3} - 9 t^{2} + 24 t)^{'} = 3 t^{2} - 9 t + 24$