a)

Odległość cząstki od punktu P w chwili t₀ jest wartością funkcji d w argumencie t₀. Zatem aby obliczyć odległość cząstki w momencie rozpoczęcia obserwacji, należy wyznaczyć wartość funkcji d w argumencie 0.

$d\left(0\right)=0^3+5\cdot 0^2+9\cdot 0+10=\underline{\underline{10\left[\text{m}\right]}}$  

---

Prędkość cząstki w chwili t₀ jest pochodną funkcji d w punkcie t₀. Zatem aby obliczyć prędkość cząstki w momencie rozpoczęcia obserwacji, należy wyznaczyć pochodną funkcji d w punkcie 0.

Wyznaczamy pochodną funkcji d:

• $d{}^{\prime }\left(t\right)=\left(t^3+5t^2+9t+10\right){}^{\prime }=3t^2+10t+9$  

Wyznaczamy pochodną funkcji d w punkcie 0:

• $d{}^{\prime }\left(0\right)=3\cdot 0^2+10\cdot 0+9=\underline{\underline{9\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]}}$  

---

Przyspieszenie cząstki w chwili t₀ jest pochodną jej prędkości w chwili t₀ - czyli drugą pochodną funkcji d w punkcie t₀. Zatem aby obliczyć przyspieszenie cząstki w momencie rozpoczęcia obserwacji, należy wyznaczyć drugą pochodną funkcji d w punkcie 0.

Wyznaczamy drugą pochodną funkcji d:

• $d{}^{\prime }{}^{\prime }\left(t\right)=\left(d{}^{\prime }\left(t\right)\right){}^{\prime }=\left(3t^2+10t+9\right){}^{\prime }=6t+10$  

Wyznaczamy pochodną funkcji d w punkcie 0:

• $d{}^{\prime }{}^{\prime }\left(0\right)=6\cdot 0+10=\underline{\underline{10\left[\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right]}}$  

---

---

b)

Odległość cząstki

$d\left(0\right)=0^4+3\cdot 0^2+5\cdot 0+7=\underline{\underline{7\left[\text{m}\right]}}$  

---

Aby obliczyć prędkość cząstki w momencie rozpoczęcia obserwacji, należy wyznaczyć pochodną funkcji d w punkcie 0.

Wyznaczamy pochodną funkcji d:

• $d{}^{\prime }\left(t\right)=\left(t^4+3t^2+5t+7\right){}^{\prime }=4t^3+6t+5$  

Wyznaczamy pochodną funkcji d w punkcie 0:

• $d{}^{\prime }\left(0\right)=4\cdot 0^3+6\cdot 0+5=\underline{\underline{5\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]}}$  

---

Aby obliczyć przyspieszenie cząstki w momencie rozpoczęcia obserwacji, należy wyznaczyć drugą pochodną funkcji d w punkcie 0.

Wyznaczamy drugą pochodną funkcji d:

• $d{}^{\prime }{}^{\prime }\left(t\right)=\left(d{}^{\prime }\left(t\right)\right){}^{\prime }=\left(4t^3+6t+5\right){}^{\prime }=12t^2+6$  

Wyznaczamy pochodną funkcji d w punkcie 0:

• $d{}^{\prime }{}^{\prime }\left(0\right)=12\cdot 0^2+6=\underline{\underline{6\left[\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right]}}$  

---

---

c)

Odległość cząstki

$d\left(0\right)=2\cdot 0^4+5\cdot 0^3+6\cdot 0^2=\underline{\underline{0\left[\text{m}\right]}}$  

---

Aby obliczyć prędkość cząstki w momencie rozpoczęcia obserwacji, należy wyznaczyć pochodną funkcji d w punkcie 0.

Wyznaczamy pochodną funkcji d:

• $d{}^{\prime }\left(t\right)=\left(2t^4+5t^3+6t^2\right){}^{\prime }=8t^3+15t^2+12t$  

Wyznaczamy pochodną funkcji d w punkcie 0:

• $d{}^{\prime }\left(0\right)=8\cdot 0^3+15\cdot 0^2+12\cdot 0=\underline{\underline{0\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]}}$  

---

Aby obliczyć przyspieszenie cząstki w momencie rozpoczęcia obserwacji, należy wyznaczyć drugą pochodną funkcji d w punkcie 0.

Wyznaczamy drugą pochodną funkcji d:

• $d{}^{\prime }{}^{\prime }\left(t\right)=\left(d{}^{\prime }\left(t\right)\right){}^{\prime }=\left(8t^3+15t^2+12t\right){}^{\prime }=24t^2+30t+12$  

Wyznaczamy pochodną funkcji d w punkcie 0:

• $d{}^{\prime }{}^{\prime }\left(0\right)=24\cdot 0^2+30\cdot 0+12=\underline{\underline{12\left[\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right]}}$  

---

---

d)

Odległość cząstki

$d\left(0\right)=3\cdot 0^4+2\cdot 0^3+4\cdot 0=\underline{\underline{0\left[\text{m}\right]}}$  

---

Aby obliczyć prędkość cząstki w momencie rozpoczęcia obserwacji, należy wyznaczyć pochodną funkcji d w punkcie 0.

Wyznaczamy pochodną funkcji d:

• $d{}^{\prime }\left(t\right)=\left(3t^4+2t^3+4t\right){}^{\prime }=12t^3+6t^2+4$  

Wyznaczamy pochodną funkcji d w punkcie 0:

• $d{}^{\prime }\left(0\right)=12\cdot 0^3+6\cdot 0^2+4=\underline{\underline{4\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]}}$  

---

Aby obliczyć przyspieszenie cząstki w momencie rozpoczęcia obserwacji, należy wyznaczyć drugą pochodną funkcji d w punkcie 0.

Wyznaczamy drugą pochodną funkcji d:

• $d{}^{\prime }{}^{\prime }\left(t\right)=\left(d{}^{\prime }\left(t\right)\right){}^{\prime }=\left(12t^3+6t^2+4\right){}^{\prime }=36t^2+12t$  

Wyznaczamy pochodną funkcji d w punkcie 0:

• $d{}^{\prime }{}^{\prime }\left(0\right)=36\cdot 0^2+12\cdot 0=\underline{\underline{0\left[\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right]}}$