Twierdzenie Darboux    Jeśli funkcja f jest ciągła w pewnym przedziale ⟨a; b⟩ oraz $f\left(a\right)\ne f\left(b\right)$   to funkcja f przyjmuje w przedziale (a; b) każdą z wartości pośrednich między f(a) i f(b).    Komentarz:   Oznacza to, że dla każdej liczby c takiej, że $f\left(a\right)<c<f\left(b\right)\vee f\left(b\right)<c<f\left(a\right)$     istnieje pewien argument x0∈(a; b) funkcji f, dla którego $f\left(x_0\right)=c$     Wniosek:   Jeśli funkcja f jest ciągła w pewnym przedziale ⟨a; b⟩ oraz  $f\left(a\right)<0<f\left(b\right)\vee f\left(b\right)<0<f\left(a\right){}_{\left(\text{czyli}f\left(a\right)\text{i}f\left(b\right)\text{są roˊz˙nych znakoˊw}\right)}$     to istnieje pewien argument x0∈(a; b) funkcji f, dla którego $f\left(x_0\right)=0$

a)

Mamy pokazać, że równanie 

$2^x-x^2-1,4=0$

ma rozwiązanie w przedziale ⟨2; 6⟩. 

Innymi słowy, musimy pokazać, że istnieje pewien x∈⟨2; 6⟩, dla którego wyrażenie po lewej stronie równania przyjmuje wartość 0. Wykorzystamy w tym celu twierdzenie Darboux.

Określamy dziedzinę równania:

$x\in \mathbb{R}$  

Rozważmy funkcję

$f\left(x\right)=2^x-x^2-1,4,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$  

Funkcja f jest ciągła w swojej dziedzinie (jako różnica funkcji ciągłych), więc w szczególności jest ciągła
w przedziale ⟨2; 6⟩.

Ponadto

$f\left(2\right)=2^2-2^2-1,4=-1,4\text{i}f\left(6\right)=2^6-6^2-1,4=26,6$  

Zatem

$f\left(2\right)\ne f\left(6\right)$

Wobec tego funkcja f spełnia założenia twierdzenia Darboux, a zatem możemy wnioskować, że w przedziale argumentów (2; 6) przyjmuje każdą z wartości pomiędzy f(2) i f(6).

W szczególności skoro 

$\underset{=-1,4}{f\left(2\right)}<0\text{i}\underset{=26,6}{f\left(6\right)}>0$

to w przedziale (2; 6) istnieje pewien argument x₀, dla którego funkcja f osiąga wartość 0

$\underset{=-1,4}{f\left(2\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{=26,6}{f\left(6\right)}$

czyli dla którego zachodzi równość

$f\left(x_0\right)=0$  

Oznacza to, że w przedziale (2; 6) istnieje pewne x₀ spełniające równanie

$\underset{f\left(x\right)=}{\underbrace{2^x-x^2-1,4}}=0$  

Wobec tego równanie

$2^x-x^2-1,4=0$  

ma rozwiązanie w przedziale (2; 6), a zatem i w przedziale ⟨2; 6⟩, cnd. 

 

Szukamy przybliżonej wartości tego rozwiązania (z błędem 0,25).

Tak, jak wcześniej, oznaczmy przez x₀ rozwiązanie równania

$2^x-x^2-1,4=0$  

Wówczas dla 

$f\left(x\right)=2^x-x^2-1,4,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$  

mamy

$f\left(x_0\right)=0$  

Wiemy już, że

$x_0\in \left(2;6\right)$   

Środkiem przedziału (2; 6) jest liczba 4, więc możemy stwierdzić, że

$x_0\approx 4\text{z błędem}2$  

Jest to jednak zbyt mało dokładne oszacowanie x₀, gdyż dopuszczamy jedynie błąd 0,25. Szukamy więc dokładniejszego przybliżenia x₀. W tym celu skorzystamy z twierdzenia Darboux dla krótszego przedziału niż (2; 6). Zauważmy, że

$f\left(4\right)=2^4-4^2-1,4=\underline{-1,4<0}\text{i}f\left(6\right)=\underline{26,6>0}$  

czyli

$f\left(4\right)\ne f\left(6\right)$  

a ponadto funkcja f jest ciągła w przedziale ⟨4; 6⟩. Możemy więc zastosować twierdzenie Darboux dla przedziału ⟨4; 6⟩. Wnioskujemy z niego, że skoro

$\underset{=-1,4}{f\left(4\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{=26,6}{f\left(6\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(4;6\right)}$

Środkiem przedziału (4; 6) jest liczba 5, zatem

$x_0\approx 5\text{z błędem}1$   

Powtarzamy wcześniejszą procedurę, aby znaleźć dokładniejsze przybliżenie x₀. Mamy

$f\left(5\right)=2^5-5^2-1,4=\underline{5,6>0}\text{i}f\left(4\right)=\underline{-1,4<0}$

zatem z twierdzenia Darboux dla przedziału ⟨4; 5⟩ wynika, że skoro

$\underset{=-1,4}{f\left(4\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{=5,6}{f\left(5\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(4;5\right)}$

Środkiem przedziału (4; 5) jest liczba 4,5, zatem

$x_0\approx 4,5\text{z błędem}0,5$   

Powtarzamy wcześniejszą procedurę, aby znaleźć dokładniejsze przybliżenie x₀. Mamy

$f\left(4,5\right)=f\left(\frac{9}{2}\right)=2^{\frac{9}{2}}-{\left(\frac{9}{2}\right)}^2-1,4=\sqrt{512}-20\frac{1}{4}-1,4\approx 22,63-21,65=\underline{0,98>0}$

$\text{i}f\left(4\right)=\underline{-1,4<0}$  

zatem z twierdzenia Darboux dla przedziału ⟨4; 4,5⟩ wynika, że skoro

$\underset{=-1,4}{f\left(4\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{\approx 0,98}{f\left(4,5\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(4;4,5\right)}$

Środkiem przedziału (4; 4,5) jest liczba 4,25, zatem

$x_0\approx 4,25\underline{\text{z błędem}0,25}$   

Zatem przybliżona wartość rozwiązania równania 

$2^x-x^2-1,4=0$  

z błędem 0,25, to

$x_0\underline{\underline{\approx 4,25}}$  

---

Dodatek: Wykres funkcji f.

---

b)

Mamy pokazać, że równanie 

$x+\text{sin}\pi x+1,6=0$

ma rozwiązanie w przedziale ⟨-3; 1⟩. 

Innymi słowy, musimy pokazać, że istnieje pewien x∈⟨-3; 1⟩, dla którego wyrażenie po lewej stronie równania przyjmuje wartość 0. Wykorzystamy w tym celu twierdzenie Darboux.

Określamy dziedzinę równania:

$x\in \mathbb{R}$  

Rozważmy funkcję

$f\left(x\right)=x+\text{sin}\pi x+1,6,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$  

Funkcja f jest ciągła w swojej dziedzinie (jako suma funkcji ciągłych), więc w szczególności jest ciągła
w przedziale ⟨-3; 1⟩.

Ponadto

$f\left(-3\right)=-3+\text{sin}\left(-3\pi \right)+1,6=-1,4\text{i}f\left(1\right)=1+\text{sin}\pi +1,6=2,6$  

Zatem

$f\left(-3\right)\ne f\left(1\right)$

Wobec tego funkcja f spełnia założenia twierdzenia Darboux, a zatem możemy wnioskować, że w przedziale argumentów (-3; 1) przyjmuje każdą z wartości pomiędzy f(-3) i f(1).

W szczególności skoro 

$\underset{=-1,4}{f\left(-3\right)}<0\text{i}\underset{=2,6}{f\left(1\right)}>0$

to w przedziale (-3; 1) istnieje pewien argument x₀, dla którego funkcja f osiąga wartość 0, czyli dla którego zachodzi równość

$f\left(x_0\right)=0$  

Oznacza to, że w przedziale (-3; 1) istnieje pewne x₀ spełniające równanie

$\underset{f\left(x\right)=}{\underbrace{x+\text{sin}\pi x+1,6}}=0$  

Wobec tego równanie

$x+\text{sin}\pi x+1,6=0$  

ma rozwiązanie w przedziale (-3; 1), a zatem i w przedziale ⟨-3; 1⟩, cnd. 

 

Szukamy przybliżonej wartości tego rozwiązania (z błędem 0,25).

Tak, jak wcześniej, oznaczmy przez x₀ rozwiązanie równania

$x+\text{sin}\pi x+1,6=0$  

Wówczas dla 

$f\left(x\right)=x+\text{sin}\pi x+1,6,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$  

mamy

$f\left(x_0\right)=0$  

Wiemy już, że

$\underline{x_0\in \left(-3;1\right)}$   

Środkiem przedziału (-3; 1) jest liczba -1, więc możemy stwierdzić, że

$x_0\approx -1\text{z błędem}2$  

Jest to jednak zbyt mało dokładne oszacowanie x₀, gdyż dopuszczamy jedynie błąd 0,25. Szukamy więc dokładniejszego przybliżenia x₀. W tym celu skorzystamy z twierdzenia Darboux dla krótszego przedziału
niż (-3; 1).

Zauważmy, że

$f\left(-1\right)=-1+\text{sin}\left(-\pi \right)+1,6=\underline{0,6>0}\text{i}f\left(-3\right)=\underline{-1,4<0}$  

czyli

$f\left(-1\right)\ne f\left(-3\right)$  

a ponadto funkcja f jest ciągła w przedziale ⟨-3; -1⟩. Możemy więc zastosować twierdzenie Darboux dla przedziału ⟨-3; -1⟩. Wnioskujemy z niego, że skoro

$\underset{=-1,4}{f\left(-3\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{=0,6}{f\left(-1\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(-3;-1\right)}$

Środkiem przedziału (-3; -1) jest liczba -2, zatem

$x_0\approx -2\text{z błędem}1$    

Powtarzamy wcześniejszą procedurę, aby znaleźć jeszcze dokładniejsze przybliżenie x₀. Mamy

$f\left(-2\right)=-2+\text{sin}\left(-2\pi \right)+1,6=\underline{-0,4<0}\text{i}f\left(-1\right)=\underline{0,6>0}$

zatem z twierdzenia Darboux dla przedziału ⟨-2; -1⟩ wynika, że skoro

$\underset{=-0,4}{f\left(-2\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{=0,6}{f\left(-1\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(-2;-1\right)}$

Środkiem przedziału (-2; -1) jest liczba -1,5, zatem

$x_0\approx -1,5\text{z błędem}0,5$   

Powtarzamy wcześniejszą procedurę, aby znaleźć jeszcze dokładniejsze przybliżenie x₀. Mamy

$f\left(-1,5\right)=-1,5+\text{sin}\left(-\frac{3\pi }{2}\right)+1,6=\underline{1,1>0}\text{i}f\left(-2\right)=\underline{-0,4<0}$

zatem z twierdzenia Darboux dla przedziału ⟨-2; -1,5⟩ wynika, że skoro

$\underset{=-0,4}{f\left(-2\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{=1,1}{f\left(-1,5\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(-2;-1,5\right)}$

Środkiem przedziału (-2; -1,5) jest liczba -1,75, zatem

$x_0\approx -1,75\underline{\text{z błędem}0,25}$

   

Zatem przybliżona wartość rozwiązania równania 

$x+\text{sin}\pi x+1,6=0$  

z błędem 0,25, to

$x_0\underline{\underline{\approx -1,75}}$  

---

Dodatek:

Wykres funkcji f.

---

c)

Mamy pokazać, że równanie 

$\frac{3}{x}-\sqrt{x}+0,6=0$

ma rozwiązanie w przedziale ⟨1; 5⟩. 

Innymi słowy, musimy pokazać, że istnieje pewien x∈⟨1; 5⟩, dla którego wyrażenie po lewej stronie równania przyjmuje wartość 0. Wykorzystamy w tym celu twierdzenie Darboux.

Określamy dziedzinę równania:

$x\in \left(0;+\infty \right)$  

Rozważmy funkcję

$f\left(x\right)=\frac{3}{x}-\sqrt{x}+0,6,\text{gdzie}x\in \left(0;+\infty \right)$  

Funkcja f jest ciągła w swojej dziedzinie (jako suma funkcji ciągłych), więc w szczególności jest określona
i ciągła w przedziale ⟨1; 5⟩.

Ponadto

$f\left(1\right)=\frac{3}{1}-\sqrt{1}+0,6=2,6\text{i}f\left(5\right)=\frac{3}{5}-\sqrt{5}+0,6=1,2-\sqrt{5}$  

Zatem

$f\left(1\right)\ne f\left(5\right)$

Wobec tego funkcja f spełnia założenia twierdzenia Darboux, a zatem możemy wnioskować, że w przedziale argumentów (1; 5) przyjmuje każdą z wartości pomiędzy f(1) i f(5).

W szczególności skoro 

$\underset{=1,2-\sqrt{5}}{f\left(5\right)}<0\text{i}\underset{=2,6}{f\left(1\right)}>0$

to w przedziale (1; 5) istnieje pewien argument x₀, dla którego funkcja f osiąga wartość 0, czyli dla którego zachodzi równość

$f\left(x_0\right)=0$  

Oznacza to, że w przedziale (1; 5) istnieje pewne x₀ spełniające równanie

$\underset{f\left(x\right)=}{\underbrace{\frac{3}{x}-\sqrt{x}+0,6}}=0$  

Wobec tego równanie

$\frac{3}{x}-\sqrt{x}+0,6=0$  

ma rozwiązanie w przedziale (1; 5), a zatem i w przedziale ⟨1; 5⟩, cnd. 

 

Szukamy przybliżonej wartości tego rozwiązania (z błędem 0,25).

Tak, jak wcześniej, oznaczmy przez x₀ rozwiązanie równania

$\frac{3}{x}-\sqrt{x}+0,6=0$  

Wówczas dla 

$f\left(x\right)=\frac{3}{x}-\sqrt{x}+0,6,\text{gdzie}x\in \left(0;+\infty \right)$  

mamy

$f\left(x_0\right)=0$  

Wiemy już, że

$\underline{x_0\in \left(1;5\right)}$   

Środkiem przedziału (1; 5) jest liczba 3, więc możemy stwierdzić, że

$x_0\approx 3\text{z błędem}2$  

Jest to jednak zbyt mało dokładne oszacowanie x₀, gdyż dopuszczamy jedynie błąd 0,25. Szukamy więc dokładniejszego przybliżenia x₀. W tym celu skorzystamy z twierdzenia Darboux dla krótszego przedziału niż (1; 5).

Zauważmy, że

$f\left(3\right)=\frac{3}{3}-\sqrt{3}+0,6=\underline{1,6-\sqrt{3}<0}\text{i}f\left(1\right)=\underline{2,6>0}$  

czyli

$f\left(3\right)\ne f\left(1\right)$  

a ponadto funkcja f jest ciągła w przedziale ⟨1; 3⟩. Możemy więc zastosować twierdzenie Darboux dla przedziału ⟨1; 3⟩. Wnioskujemy z niego, że skoro

$\underset{=1,6-\sqrt{3}}{f\left(3\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{=2,6}{f\left(1\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(1;3\right)}$

Środkiem przedziału (1; 3) jest liczba 2, zatem

$x_0\approx 2\text{z błędem}1$    

Powtarzamy wcześniejszą procedurę, aby znaleźć dokładniejsze przybliżenie x₀. Mamy

$f\left(2\right)=\frac{3}{2}-\sqrt{2}+0,6=\underline{2,1-\sqrt{2}>0}\text{i}f\left(-1\right)=\underline{0,6<3}$

zatem z twierdzenia Darboux dla przedziału ⟨2; 3⟩ wynika, że skoro

$\underset{=1,6-\sqrt{3}}{f\left(3\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{=2,1-\sqrt{2}}{f\left(2\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(2;3\right)}$

Środkiem przedziału (2; 3) jest liczba 2,5, zatem

$x_0\approx 2,5\text{z błędem}0,5$   

Powtarzamy wcześniejszą procedurę, aby znaleźć jeszcze dokładniejsze przybliżenie x₀. Mamy

$f\left(2,5\right)=\frac{3}{2,5}-\sqrt{2,5}+0,6=1,8-\sqrt{2,5}\underline{\approx 0,22>0}\text{i}f\left(3\right)=\underline{1,6-\sqrt{3}<0}$

zatem z twierdzenia Darboux dla przedziału ⟨2,5; 3⟩ wynika, że skoro

$\underset{=1,6-\sqrt{3}}{f\left(3\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{\approx 0,22}{f\left(2,5\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(2,5;3\right)}$

Środkiem przedziału (2,5; 3) jest liczba 2,75, zatem

$x_0\approx 2,75\underline{\text{z błędem}0,25}$

  

Zatem przybliżona wartość rozwiązania równania 

$\frac{3}{x}-\sqrt{x}+0,6=0$  

z błędem 0,25, to

$x_0\underline{\underline{\approx 2,75}}$  

---

Dodatek:

Wykres funkcji f.

---

d)

Mamy pokazać, że równanie 

$x+\text{cos}\frac{\pi x}{2}=0$

ma rozwiązanie w przedziale ⟨-4; 0⟩. 

Innymi słowy, musimy pokazać, że istnieje pewien x∈⟨-4; 0⟩, dla którego wyrażenie po lewej stronie równania przyjmuje wartość 0. Wykorzystamy w tym celu twierdzenie Darboux.

Określamy dziedzinę równania:

$x\in \mathbb{R}$  

Rozważmy funkcję

$f\left(x\right)=x+\text{cos}\frac{\pi x}{2},\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$  

Funkcja f jest ciągła w swojej dziedzinie (jako suma funkcji ciągłych), więc w szczególności jest ciągła
w przedziale ⟨-4; 0⟩.

Ponadto

$f\left(-4\right)=-4+\text{cos}\left(-2\pi \right)=-3\text{i}f\left(0\right)=0+\text{cos}0=1$  

Zatem

$f\left(-4\right)\ne f\left(0\right)$

Wobec tego funkcja f spełnia założenia twierdzenia Darboux, a zatem możemy wnioskować, że w przedziale argumentów (-4; 0) przyjmuje każdą z wartości pomiędzy f(-4) i f(0).

W szczególności skoro 

$\underset{=-3}{f\left(-4\right)}<0\text{i}\underset{=1}{f\left(0\right)}>0$

to w przedziale (-4; 0) istnieje pewien argument x₀, dla którego funkcja f osiąga wartość 0, czyli dla którego zachodzi równość

$f\left(x_0\right)=0$  

Oznacza to, że w przedziale (-4; 0) istnieje pewne x₀ spełniające równanie

$\underset{f\left(x\right)=}{\underbrace{x+\text{cos}\frac{\pi x}{2}}}=0$  

Wobec tego równanie

$x+\text{cos}\frac{\pi x}{2}=0$  

ma rozwiązanie w przedziale (-4; 0), a zatem i w przedziale ⟨-4; 0⟩, cnd. 

 

Szukamy przybliżonej wartości tego rozwiązania (z błędem 0,25).

Tak, jak wcześniej, oznaczmy przez x₀ rozwiązanie równania

$x+\text{cos}\frac{\pi x}{2}=0$  

Wówczas dla 

$f\left(x\right)=x+\text{cos}\frac{\pi x}{2},\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$  

mamy

$f\left(x_0\right)=0$  

Wiemy już, że

$\underline{x_0\in \left(-4;0\right)}$   

Środkiem przedziału (-4; 0) jest liczba -2, więc możemy stwierdzić, że

$x_0\approx -2\text{z błędem}2$  

Jest to jednak zbyt mało dokładne oszacowanie x₀, gdyż dopuszczamy jedynie błąd 0,25. Szukamy więc dokładniejszego przybliżenia x₀. W tym celu skorzystamy z twierdzenia Darboux dla krótszego przedziału
niż (-4; 0).

Zauważmy, że

$f\left(-2\right)=-2+\text{cos}\left(-\pi \right)=\underline{-3<0}\text{i}f\left(0\right)=\underline{1>0}$  

czyli

$f\left(-2\right)\ne f\left(0\right)$  

a ponadto funkcja f jest ciągła w przedziale ⟨-2; 0⟩. Możemy więc zastosować twierdzenie Darboux dla przedziału ⟨-2; 0⟩. Wnioskujemy z niego, że skoro

$\underset{=-3}{f\left(-2\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{=1}{f\left(0\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(-2;0\right)}$

Środkiem przedziału (-2; 0) jest liczba -1, zatem

$x_0\approx -1\text{z błędem}1$    

Powtarzamy wcześniejszą procedurę, aby znaleźć dokładniejsze przybliżenie x₀. Mamy

$f\left(-1\right)=-1+\text{cos}\frac{-\pi }{2}=\underline{-1<0}\text{i}f\left(0\right)=\underline{1>0}$

zatem z twierdzenia Darboux dla przedziału ⟨2; 3⟩ wynika, że skoro

$\underset{=-1}{f\left(-1\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{=1}{f\left(0\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(-1;0\right)}$

Środkiem przedziału (-1; 0) jest liczba -0,5, zatem

$x_0\approx -0,5\text{z błędem}0,5$   

Powtarzamy wcześniejszą procedurę, aby znaleźć dokładniejsze przybliżenie x₀. Mamy

$f\left(-0,5\right)=-0,5+\text{cos}\frac{-0,5\pi }{2}=-0,5+\text{cos}\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\underline{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}>0}\text{i}f\left(-1\right)=\underline{-1<0}$

zatem z twierdzenia Darboux dla przedziału ⟨-1; -0,5⟩ wynika, że skoro

$\underset{=-1}{f\left(-1\right)}<\underset{=f\left(x_0\right)}{0}<\underset{=\frac{-1+\sqrt{2}}{2}}{f\left(-0,5\right)}$

to 

$\underline{x_0\in \left(-1;-0,5\right)}$

Środkiem przedziału (-1; -0,5) jest liczba -0,75, zatem

$x_0\approx -0,75\underline{\text{z błędem}0,25}$

 

Zatem przybliżona wartość rozwiązania równania 

$x+\text{cos}\frac{\pi x}{2}=0$  

z błędem 0,25, to

$x_0\underline{\underline{\approx -0,75}}$  

---

Dodatek:

Wykres funkcji f.