Zdarzenia A i B nazwiemy zdarzeniami niezależnymi, jeżeli zachodzi równość:  $\mathbf{P}\left(\mathbf{A}\cap \mathbf{B}\right)=\mathbf{P}\left(\mathbf{A}\right)\cdot \mathbf{P}\left(\mathbf{B}\right)$

Sprawdzamy, czy zachodzi równość

$P\left(A\cap B{}^{\prime }\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B{}^{\prime }\right)$

Zauważmy, że

$P\left(A\right)\cdot \underset{1-P\left(B\right)}{\underbrace{P\left(B{}^{\prime }\right)}}=\frac{1}{2}\cdot \left(1-\frac{3}{10}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{10}=\underline{\underline{\frac{7}{20}}}$

Zdarzenie A jest sumą wykluczających się zdarzeń A∩B i A∩B', zatem

$P\left(A\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap B{}^{\prime }\right)$  

czyli

$P\left(A\cap B{}^{\prime }\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{2}-\underset{?}{\underbrace{P\left(A\cap B\right)}}$  

P(A∩B) obliczamy, korzystając ze wzoru

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

otrzymujemy

$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{10}-\frac{13}{20}=\frac{10}{20}+\frac{6}{20}-\frac{13}{20}=\frac{3}{20}$  

Zatem ostatecznie mamy

$P\left(A\cap B{}^{\prime }\right)=\frac{1}{2}-\frac{3}{20}=\frac{10}{20}-\frac{3}{20}=\underline{\underline{\frac{7}{20}}}$  

Wobec tego otrzymujemy

$P\left(A\right)\cdot P\left(B{}^{\prime }\right)=P\left(A\cap B{}^{\prime }\right)$

więc zdarzenia A i B' są niezależne.

---

KOMENTARZ:   Zadanie można też rozwiązać, wykorzystując następujące twierdzenie:   Twierdzenie   Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym zdarzenia A i B są niezależne, to również zdarzenia   A' i B', A i B' oraz A' i B są niezależne.     Wówczas P(A∩B) obliczamy, korzystając ze wzoru $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$     w następujący sposób: $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{10}-\frac{13}{20}=\frac{10}{20}+\frac{6}{20}-\frac{13}{20}=\frac{3}{20}$     i skoro $P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{10}=\frac{3}{20}$   to zdarzenia A i B są niezależne, więc - powołując się na przywołane twierdzenie - niezależne są   także zdarzenia A i B'.