Rozważmy zdarzenia

I  - losowo wybrany pasażer z peronu wsiadł do pierwszego pociągu
II - losowo wybrany pasażer z peronu wsiadł do drugiego pociągu

A - losowo wybrany pasażer z peronu wsiadł do pociągu przez pomyłkę

Wówczas

A|I   - losowo wybrany pasażer z pierwszego pociągu wsiadł do niego przez pomyłkę
A|II - losowo wybrany pasażer z drugiego pociągu wsiadł do niego przez pomyłkę

Z treści zadania możemy wnioskować, że

$P\left(I\right)=0,4$

$P\left(II\right)=0,6$

$P\left(A\right)=0,03$

$P\left(A\mid I\right)=0,06$

---

a)

Chcemy obliczyć P(A|II).

Zauważmy, że zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite, mamy

$P\left(A\right)=P\left(I\right)\cdot P\left(A\mid I\right)+P\left(II\right)\cdot P\left(A\mid II\right)$

Zatem

$0,03=0,4\cdot 0,06+0,6\cdot P\left(A\mid II\right)$

$0,030=0,024+0,6\cdot P\left(A\mid II\right)$

$0,006=0,6\cdot P\left(A\mid II\right)$

$P\left(A\mid II\right)=\underline{\underline{0,01}}$       

---

b)

Rozważmy zdarzenie

B - losowo wybrany pasażer wsiadł do pociągu, którym zamierzał jechać

Zauważmy, że skoro

A - losowo wybrany pasażer z peronu wsiadł do pociągu przez pomyłkę

to

A' - losowo wybrany pasażer wsiadł do pociągu, którym zamierzał jechać

Zatem zdarzenie B jest tożsame ze zdarzeniem A'.

Wobec tego otrzymujemy

$P\left(B\right)=P\left(A{}^{\prime }\right)=1-P\left(A\right)=1-0,03=\underline{\underline{0,97}}$  

---

c)

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany pasażer znalazł się w drugim pociągu, skoro wiemy, że pomylił pociąg. Zatem interesuje nas P(II|A).

Otrzymujemy

$P\left(II\mid A\right)=\frac{P\left(II\cap A\right)}{P\left(A\right)}=\frac{P\left(A\cap II\right)}{P\left(A\right)}=\frac{P\left(A\right)\cdot P\left(A\mid II\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,6\cdot 0,01}{0,03}=\frac{0,006}{0,03}=\frac{6}{30}=$

$=\frac{1}{5}=\underline{\underline{0,2}}$