Mamy daną funkcję

$f\left(x\right)=\sqrt{x^2+x+1}-x$  

Przekształćmy ją

$f\left(x\right)=\left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)\cdot \frac{\sqrt{x^2+x+1}+x}{\sqrt{x^2+x+1}+x}=\frac{{\sqrt{x^2+x+1}}^2-x^2}{\sqrt{x^2+x+1}+x}=\frac{\left|x^2+x+1\right|-x^2}{\sqrt{x^2+x+1}+x}$         

Zauważmy, że dla każdego

$x\in \mathbb{R}$  

zachodzi

$x^2+x+1>0$   

Stąd

$f\left(x\right)=\frac{x^2+x+1-x^2}{\sqrt{x^2+x+1}+x}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}+x}=\frac{x+1}{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+x}$  

Obliczmy granicę

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)\stackrel{x\to -\infty \Rightarrow x<0}{=}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x}}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}=\dots$  

Zauważmy, że 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=1^{-}$  

Stąd

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1\right)=0^{+}$  

Zatem

$\dots =\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=\infty$  

Oraz

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)\stackrel{x\to \infty \Rightarrow x>0}{=}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+1}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$